Question

13．（1）如图，过顶点B的一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，当∠C是其中一个等腰三角形的顶角，∠C=40°时，∠ABC=105度；当∠C为△ABC中最小时，探究∠ABC与∠C之间的数量关系；
（2）在△ABC中，若AB=BC，则过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形，请直接写出△ABC顶角的度数．

Answer 1

分析 （1）过B作直线BE交AC于D．可以求出∠DBC和∠ADB的度数，从而求解；由于同一个三角形中内角不能存在两个钝角，反证法即可得出）∠A不能为另一等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质求解；
（2）因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，故应该分四情况进行分析，从而求解．

解答 解：（1）过B作直线BE交AC于D．
∵∠C为顶角，
∴∠DBC=∠CDB=$\frac{180°-40°}{2}$=70°，
∴∠ADB=110°，∠ABD=∠A=$\frac{180°-110°}{2}$=35°，
∴∠ABC=35°+70°=105°．
∵∠ADB=∠C+$\frac{180°-∠C}{2}$=90°+$\frac{1}{2}$∠C，
∴∠ADB为钝角，
又∵同一个三角形中内角不能存在两个钝角，
∴∠A不能为顶角．
当∠ADB为顶角时，∠ABC=∠ABD+∠DBC=$\frac{1}{2}$+∠DBC=$\frac{3}{2}$=135°-$\frac{3}{4}$∠C．
故答案为：105；

（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠BAC=90°．
②如图2，∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠BAC=108°．
③如图3，∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°．
④如图4，∵AB=AC，AD=BD，CD=BC，
∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=3∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴7∠BAC=180°，
∴∠BAC=（$\frac{180}{7}$）°

点评 本题考查的是应用与设计作图及等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．