Question

12．如图，已知AC，EC分别为正方形ABCD和正方形EFCG的对角线，点E在△ABC内，连接BF，∠CAE+∠CBE=90°．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据四边形ABCD和EFCG均为正方形，可得$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$，∠ACE=∠BCF；然后根据相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；
（2）首先根据△CAE∽△CBF，判断出∠CAE=∠△CBF，再根据∠CAE+∠CBE=90°，判断出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根据勾股定理，求出EF的长度，再根据CE、EF的关系，求出CE的长是多少即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CE}{CF}$=$\sqrt{2}$，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
∴∠ACE=∠BCF，
∴△CAE∽△CBF．

（2）解：∵△CAE∽△CBF，
∴∠CAE=∠△CBF，$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$，
又∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
∴∠EBF=90°，
又∵$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\sqrt{2}$，AE=2
∴$\frac{2}{BF}$=$\sqrt{2}$，
∴BF=$\sqrt{2}$，
∴EF²=BE²+BF²=3，
∴EF=$\sqrt{3}$，
∵CE²=2EF²=6，
∴CE=$\sqrt{6}$．

点评 此题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解决问题的前提．