【题目】如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ.
(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论;
(2) 若PA:PB:PC=3:4:5,连接PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
【答案】(1)AP=CQ,证明见解析(2)△PQC是直角三角形,证明见解析
【解析】
根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ,从而得到AP=CQ;设PA=3a,PB=4a,PC=5a,由已知可判定△PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a,再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形.
(1)猜想:AP=CQ,
证明:∵∠ABP+∠PBC=60°,∠QBC+∠PBC=60°,
∴∠ABP=∠QBC.
又AB=BC,BP=BQ,
∴△ABP≌△CBQ,
∴AP=CQ;
(2)由PA:PB:PC=3:4:5,
可设PA=3a,PB=4a,PC=5a,
连接PQ,在△PBQ中
由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°,
∴△PBQ为正三角形.
∴PQ=4a.
于是在△PQC中
∵PQ+QC=16a+9a=25a=PC
∴△PQC是直角三角形.
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【题目】如图,是一个长方形娱乐场所,其宽是4a米,长是6a米,现要求这个娱乐场拥有一半以上的绿地.小明提供了如图所示的设计方案,其中半圆形休息区和长方形游泳区以外的地方都是绿地,并且半圆形休息区的直径和长方形游泳区的宽都是2a米,游泳区的长3a米.
(1)长方形娱乐场所的面积为 平方米,
休息区的面积为 平方米.
(2)请你判断他的设计方案是否符合娱乐场拥有一半以上的绿地的要求?并说明理由.
(3)若长方形娱乐场所的宽为80米,绿化草地每平方米需要费用20元,求小明设计方案中绿化草地的费用(π取3).
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【题目】阅读材料:我们知道,,类似地,我们把看成一个整体,则.“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.
尝试应用:
(1)把看成一个整体,合并的结果是______________.
(2)当时,代数式的值为,则当时,求代数式的值.
拓广探索:
(3)已知,,,求的值.
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【题目】如图,在数轴上点表示的数为,点表示的数为,动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿负方向运动,动点从原点出发以每秒个单位长度的速度沿负方向运动,动点从点出发以每秒个单位的速度先沿正方向运动,到达原点后立即按原速反方向运动,三点同时出发,出发时间为(秒).
(1)点在数轴上所表示的数分别为:____________,____________;
(2)当两点重合时,求此时点在数轴上所表示的数;
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【题目】如图所示,已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论:① AE=CD;②BF=BG;③BH平分∠AHD;④∠AHC=60°,⑤△BFG是等边三角形;⑥ FG∥AD。其中正确的有_______个.
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【题目】已知,如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,D为AC上的点,BE=DE.
(1)求证:∠B+∠EDA=180°;
(2)求 的值。.
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【题目】如图,点A,B在反比例函数(k>0)的图象上,AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足C,D分别在x轴的正、负半轴上,CD=k,已知AB=2AC,E是AB的中点,且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍,则k的值是______.
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【题目】在3×3的方格中,每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等,我们把这样的方格图叫做“等和格”。如图的“等和格”中,每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15.
(1)图1是显示部分代数式的“等和格”,可得a=_______(含b的代数式表示);
(2)图2是显示部分代数式的“等和格”,可得a=__________,b=__________;
(3)图3是显示部分代数式的“等和格”,求b的值。(写出具体求解过程)
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,△ABC与△DEF的顶点均在格点上.
(1)在图中直接画出O点的位置;
(2)若以O点为平面直角坐标系的原点,线段AD所在的直线为y轴,过点O垂直AD的直线为x轴,此时点B的坐标为(﹣2,2),请你在图上建立平面直角坐标系,并回答下面的问题:将△ABC先向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并直接写出点B1的坐标.
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