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【题目】如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PAPBPC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连接CQ

(1) 观察并猜想APCQ之间的大小关系,并证明你的结论;

(2) PAPBPC=345,连接PQ,试判断PQC的形状,并说明理由.

【答案】1AP=CQ,证明见解析(2)△PQC是直角三角形,证明见解析

【解析】

根据等边三角形的性质利用SAS判定ABP≌△CBQ,从而得到AP=CQ;设PA=3aPB=4aPC=5a,由已知可判定PBQ为正三角形从而可得到PQ=4a,再根据勾股定理判定PQC是直角三角形.

(1)猜想:AP=CQ

证明:∵∠ABP+PBC=60°,QBC+PBC=60°

∴∠ABP=QBC.

AB=BCBP=BQ

∴△ABP≌△CBQ

AP=CQ

(2)PA:PB:PC=3:4:5,

可设PA=3aPB=4aPC=5a

连接PQ,在PBQ

由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°

∴△PBQ为正三角形.

PQ=4a.

于是在PQC

PQ+QC=16a+9a=25a=PC

∴△PQC是直角三角形.

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