Question

【题目】如图，抛物线的表达式为y=ax2+4ax+4a-1（a≠0），它的图像的顶点为A，与x轴负半轴相交于点B、点C（点B在点C左侧），与y轴交于点D，连接AO交抛物线于点E，且S△AEC:S△CEO=1:3.

（1）求点A的坐标和抛物线表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BDP的内心也在对称轴上，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接BD，点Q是y轴左侧抛物线上的一点，若以Q为圆心，为半径的圆与直线BD相切，求点Q的坐标.

Answer 1

【答案】（1）抛物线表达式为y=x2+4x+3 ；（2）P（-2，-3）；（3）Q（-4，3）.

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴易求得顶点坐标，再根据S△AEC:S△CEO=1:3，求得OE：OA=3:4，再证得△OFE∽△OMA，求得点E的坐标，从而求得答案；

（2）根据内心的定义知∠BPM=∠DPM，设点P（-2，b），根据三角函数的定义求得，继而求得的值，从而求得答案；

（3）设Q（m，m2+4m+3），分类讨论，①点Q在BD左上方抛物线上，②点Q在BD下方抛物线上，利用的不同计算方法求得的值，从而求得答案.

（1）由抛物线y=ax2+4ax+4a-1得对称轴为直线，当时，，

∴ ，

∵S△AEC:S△CEO=1:3 ，

∴AE：OE=1:3 ，

∴OE：OA=3:4，

过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，设对称轴与x轴交点为M，如图，

∵EF//AM ，

∴△OFE∽△OMA ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

把点代入抛物线表达式y=ax2+4ax+4a-1得

，

解得：a=1，

∴抛物线表达式为：y=x2+4x+3 ；

（2）三角形的内心是三个角平分线的交点，

∴∠BPM=∠DPM，

过点D作DH⊥AM，垂足为点H，设点P（-2，b），

∵tan∠BPM=tan∠DPM ，

∴，

∴，

∴，

∴P（-2，-3），

（3）∵抛物线表达式为：y=x2+4x+3 ，

∴抛物线与轴和轴的交点坐标分别为：B(-3，0) ，C(-1，0) ，D(0，3) ，

∴，

∴

设Q（m，m2+4m+3），

①点Q在BD左上方抛物线上，如图：作BG⊥x轴交BD于G，QF⊥x轴交于F，作QE⊥BD于E，

设直线QD的解析式为：，

∵点Q的坐标为（m，m2+4m+3）代入得：，

∴直线QD的解析式为：，

当时，，

∴点G的坐标为； ，

∴

，

∵，

∴，

即：，

解得：或(不合题意，舍去) ，

∴点的坐标为：）；

②点Q在BD下方抛物线上，如图：QF⊥x轴交于F，交BD于G，作QE⊥BD于E，

设直线BD的解析式为：，

将点B(-3，0)代入得：，

∴直线BD的解析式为：，

当时，，

∴点G的坐标为； ，

∴

，

∵，

∴，

即：，

∵

∴方程无解，

综上：点的坐标为：）.