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【题目】如图,在中,,垂足为,点是边上的一个动点,过点交线段于点,作于点,交线段于点,设

1)用含的代数式表示线段的长;

2)设的面积为,求之间的函数关系式,并写出定义域;

3)若为直角三角形,求出的长.

【答案】1 ;(2;(3

【解析】

1)根据题意可得△ABC和△BPF为等边三角形,由及等边三角形的性质得出PF=GF=x,从而表示出DG=BF+FG-BD=2x-1

2)由含30°直角三角形的性质表示出DE,由(1)可表示出DF,再根据三角形面积的计算公式即可解答;

3)若为直角三角形,则∠PFE=90°或∠PEF=90°,根据直角三角形的性质列出方程求解即可.

解:(1)∵在中,

∴△ABC为等边三角形,

∴∠BAC=ABC=∠ACB=60°

∴∠BPF=BAC=∠BFP=60°

∴△BPF为等边三角形,

BF=BP=PF=x,∠PFC=120°

∴∠BPE=90°

∴∠FPE=30°

∴∠FGP=30°

PF=GF=x

又∵ADBC

BD=CD=1

DG=BF+FG-BD=2x-1

2)由(1)可知DF=BD-BF=1-x

∵∠FGP=30°,∠ADG=90°

EG=2DE

由勾股定理得:

,解得

∴定义域为:

3)∵∠FPG=30°

∴若为直角三角形,则∠PFE=90°或∠PEF=90°

①当∠PFE=90°时,

EFD=120°-90°=30°

∴△EFG为等腰三角形,

DF=DG

DF=1-xDG=2x-1

1-x =2x-1

解得:

②当∠PEF=90°时,

FED=90°-60°=30°

DE=

DF=1-x

解得:

综上所述,的长为

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在平面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的半径为 1.

(1)如图 2,已知 M(),N( ,﹣),在 A(1,0),B(1,1),C(,0)三点中,是线段 MN 关于点 O 的关联点的是哪个点;

(2)如图 3,M(0,1),N(,﹣),点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点.

①求∠MDN 的大小;

②在第一象限内有一点 E(m,m),点 E 是线段 MN 关于点 O 的关联点,判断△MNE 的形状,并直接写出点 E 的坐标;

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