【题目】如图,在中,,,垂足为,点是边上的一个动点,过点作交线段于点,作交于点,交线段于点,设.
(1)用含的代数式表示线段的长;
(2)设的面积为,求与之间的函数关系式,并写出定义域;
(3)若为直角三角形,求出的长.
【答案】(1) ;(2),;(3)或
【解析】
(1)根据题意可得△ABC和△BPF为等边三角形,由及等边三角形的性质得出PF=GF=x,从而表示出DG=BF+FG-BD=2x-1;
(2)由含30°直角三角形的性质表示出DE,由(1)可表示出DF,再根据三角形面积的计算公式即可解答;
(3)若为直角三角形,则∠PFE=90°或∠PEF=90°,根据直角三角形的性质列出方程求解即可.
解:(1)∵在中,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,
∵
∴∠BPF=∠BAC=∠BFP=60°,
∴△BPF为等边三角形,
∴BF=BP=PF=x,∠PFC=120°,
∵
∴∠BPE=90°,
∴∠FPE=30°,
∴∠FGP=30°,
∴PF=GF=x
又∵AD⊥BC,
∴BD=CD=1,
∴DG=BF+FG-BD=2x-1
故
(2)由(1)可知DF=BD-BF=1-x,
∵∠FGP=30°,∠ADG=90°,
∴EG=2DE
由勾股定理得:,
∴
∴,
∴
∵,解得,
∴定义域为:
(3)∵∠FPG=30°,
∴若为直角三角形,则∠PFE=90°或∠PEF=90°,
①当∠PFE=90°时,
∠EFD=120°-90°=30°,
∴△EFG为等腰三角形,
∴DF=DG
∵DF=1-x,DG=2x-1,
∴1-x =2x-1
解得:
②当∠PEF=90°时,
∠FED=90°-60°=30°,
∴DE=,
∵,DF=1-x,
∴,
解得:
综上所述,的长为或.
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【题目】给出如下定义:对于⊙O 的弦 MN 和⊙O 外一点 P(M,O,N 三点不共线,且点 P,O 在直线 MN 的异侧),当∠MPN+∠MON=180°时,则称点 P 是线段 MN 关于点 O 的关联点.图 1 是点 P 为线段 MN 关于点 O 的关联点的示意图.
在平面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的半径为 1.
(1)如图 2,已知 M(,),N( ,﹣),在 A(1,0),B(1,1),C(,0)三点中,是线段 MN 关于点 O 的关联点的是哪个点;
(2)如图 3,M(0,1),N(,﹣),点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点.
①求∠MDN 的大小;
②在第一象限内有一点 E(m,m),点 E 是线段 MN 关于点 O 的关联点,判断△MNE 的形状,并直接写出点 E 的坐标;
③点 F 在直线 y=﹣x+2 上,当∠MFN≥∠MDN 时,求点 F 的横坐标 x 的取值范围.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.
(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE,交AC于点D,交AB于点E.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)连接BD,求证:BD平分∠CBA.
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【题目】、两地相距160千米,一辆公共汽车从地出发,开往地,2小时后,又从地同方向开出一辆小汽车,小汽车的速度是公共汽车的3倍,结果小汽车比公共汽车早到40分钟到达地,求两种车的速度?
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【题目】如图,已知二次函数.
(1)求证:它的图象与x轴必有两个不同的交点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,O)(x1<x2),与y轴交于点C,且AB=4,⊙M过A,B,C三点,求扇形MAC的面积S;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,PD⊥x轴于D,使△PBD被直线BC分成面积比为1:2的两部分?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案,已知大正方形面积为10,小正方形面积为2,若用表示直角三角形的两直角边,下列四个说法:①;②;③;④.其中说法正确的有____________.(只填序号)
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【题目】如图,直线y1=x+m与x轴、y轴交于点A、B,与双曲线分别交于点C、D,且点C的坐标为(-1,2)
(1)分别求出直线AB及双曲线的解析式;
(2)求出点D的坐标.
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【题目】如图,在⊙O中,F,G是直径AB上的两点,C,D,E是半圆上的三点,如果弧AC的度数为60°,弧BE的度数为20°,∠CFA=∠DFB,∠DGA=∠EGB.求∠FDG的大小.
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