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【题目】给出如下定义:对于⊙O 的弦 MN 和⊙O 外一点 P(M,O,N 三点不共线,且点 P,O 在直线 MN 的异侧),当∠MPN+∠MON=180°时,则称点 P 是线段 MN 关于点 O 的关联点.图 1 是点 P 为线段 MN 关于点 O 的关联点的示意图.

在平面直角坐标系 xOy 中,⊙O 的半径为 1.

(1)如图 2,已知 M(),N( ,﹣),在 A(1,0),B(1,1),C(,0)三点中,是线段 MN 关于点 O 的关联点的是哪个点;

(2)如图 3,M(0,1),N(,﹣),点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点.

①求∠MDN 的大小;

②在第一象限内有一点 E(m,m),点 E 是线段 MN 关于点 O 的关联点,判断△MNE 的形状,并直接写出点 E 的坐标;

③点 F 在直线 y=﹣x+2 上,当∠MFN≥∠MDN 时,求点 F 的横坐标 x 的取值范围.

【答案】(1)点 C 满足条件;(2)60°;②△MNE 是等边三角形;③满足条件的点 F 的横坐标 x 的取值范围≤xF

【解析】

(1)由题意线段 MN 关于点O的关联点的是以线段 MN 的中点为圆心,为半径的圆上,所以点 C 满足条件;(2)①如图 3﹣1 中,作 NH⊥x 轴于 H.易求∠MON 的度数,再根据“关联点”的定义即可求得∠MDN 的大小;②如图 3﹣2 中,结论:△MNE 是等边三角形.作 EKx 轴于 K,求得∠MOE=60°;由∠MON+∠MEN=180°,推出 M、O、N、E 四点共圆,可得∠MNE=∠MOE=60°,由此即可解决问题;③如图 3﹣3 中,由②可知,△MNE 是等边三角形,作△MNE 的外接圆⊙O′,首先证明点 E 在直线 y=﹣x+2 上,设直线交⊙O′于 E、F,可得 F(),观察图形即可解决问题.

(1)由题意线段 MN 关于点 O 的关联点的是以线段 MN 的中点为圆心,为半径的圆上,所以点 C 满足条件

(2)①如图 3﹣1 中,作 NHx 轴于 H.

N(,﹣),

tanNOH=

∴∠NOH=30°,

MON=90°+30°=120°,

∵点 D 是线段 MN 关于点 O 的关联点,

∴∠MDN+MON=180°,

∴∠MDN=60°.

②如图 3﹣2 中,

结论:MNE 是等边三角形.

理由:作 EKx 轴于 K.

E(m,m),

tanEOK=

∴∠EOK=30°,

∴∠MOE=60°,

∵∠MON+MEN=180°,

M、O、N、E 四点共圆,

∴∠MNE=MOE=60°,

∵∠MEN=60°,

∴∠MEN=MNE=NME=60°,

∴△MNE 是等边三角形.

③如图 3﹣3 中,由②可知,MNE 是等边三角形,作MNE 的外接圆⊙O′,

易知 E(,1),

∴点 E 在直线 y=﹣x+2 上,设直线交⊙O′ E、F,可得 F(),

观察图象可知满足条件的点F的横坐标 x 的取值范围≤xF

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小明根据学习函数的经验,对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小明的探究过程,请补充完整:

(1)通过取点、画图、计算,得到了 x 与 y 的几组值,如下表:

x

0

1

2

3

4

5

6

y

5.2

4.2

4.6

5.9

7.6

9.5

说明:补全表格时,相关数值保留一位小数.(参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)

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