Question

如图，在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别是A（a，0），B（0，b），且a，b满足a=

b-4

+

4-b

-4．点C在c轴正半轴上，过点A作AE⊥BC于点E，交OB于点D，∠CAE=15°
（1）求证：OD=OC；
（2）说明AD+CD与AB大小关系；
（3）试探求线段BE、CE和CD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据被开方数大于等于0列式求出b的值，再求出a的值，然后得到OA=OB，再求出∠CBO=15°，从而得到∠OAD=∠OBC，然后利用“角边角”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）利用15°角的余弦求出AD、OD的长，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

倍求出AB、CD，即可得解；
（3）先求出∠DCE=30°，然后解直角三角形求出CE，再求出BE的长，然后根据数据计算即可得到BE=CE+CD．

解答：（1）证明：根据题意，b-4≥0且4-b≥0，
解得b≥4且b≤4，
所以，b=4，
所以，a=-4，
∴OA=OB=4，
∵OA⊥OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAE=45°-15°=30°，
∵AE⊥BC，
∴∠ABE=90°-∠OBA=90°-30°=60°，
∴∠CBO=∠ABE-∠OBA=60°-45°=15°，
∴∠OAD=∠OBC，
在△AOD和△BOC中，

∠OAD=∠OBC OA=OB ∠AOD=∠BOC=90°

，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴OD=OC；

（2）解：在Rt△AOD中，AD=OA÷cos15°=4÷

6 + 2

4

=4

6

-4

2

，
OD=OAtan15°=4（2-

3

）=8-4

3

，
∴CD=

OD2+OC2

=

(8-4 3 )2+(8-4 3 )2

=8

2

-4

6

，
在Rt△AOB中，AB=OA÷sin45°=4÷

2

2

=4

2

，
∵AD+CD=4

6

-4

2

+8

2

-4

6

=4

2

，
∴AD+CD=AB；

（3）解：在△ABC中，∠ACB=180°-∠BAO-∠ABE=180°-45°-60°=75°，
∵OD=OC，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠OCD=45°，
∴∠DCE=∠ACB-∠OCD=75°-45°=30°，
∴CE=CDcos30°=（8

2

-4

6

）×

3

2

=4

6

-6

2

，
∵△AOD≌△BOC，
∴BC=AD=4

6

-4

2

，
∴BE=BC-CE=4

6

-4

2

-（4

6

-6

2

）=2

2

，
∵CE+CD=4

6

-6

2

+8

2

-4

6

=2

2

，
∴BE=CE+CD．
附：

sin15°=

6 - 2

4

，cos15°=

6 + 2

4

，tan15°=2-

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，以及非负数的性质，利用15°角的三角函数值求出相应的线段的长度是解题的关键．