【题目】如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠A=60°,AC=3cm,以斜边AB的中点P为旋转中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′,则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为______________.
【答案】
【解析】
由点P是AB的中点,∠A=60°,AC=3cm可得BP的长,再由逆时针旋转90°,根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值,就可求出BM,MP的长,在Rt△B′MN和Rt△BNG中根据30°直角三角形的三边比值同样可以求出相应线段长,然后利用S阴影部分=进行计算即可.
如图,
∵∠C=90°,∠A=60°,AC=6,∴AB=2AC=6,∠B=30°,
∵点P为AB的中点,∴BP=3,
∵△ABC绕点P按逆时针方向旋转得到Rt△A′B′C′,
∴P=BP=3,
在Rt△BPM中,∠B=30°,∠BPM=90°,∴BM=2PM,∴PM=,BM=2,
∴B′M=B′P-PM=3-,
在Rt△B′MN中,∠B′=30°,∴MN=B′M=,∴BN=BM+MN=,
在Rt△BNG中,BG=2NG,BG2=NG2+BN2,∴NG=,
∴S阴影=S△BNG-S△BMP=,
故答案为:.
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【题目】在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD边上的两个动点,∠EAF=45°,下列几个结论中:①EF=BE+DF;②MN2=BM2+DN2;③FA平分∠DFE;④连接MF,则△AMF为等腰直角三角形;⑤∠AMN=∠AFE. 其中一定成立的结论有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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【题目】如图所示,甲、乙、丙、丁、戊五名同学有以下说法:甲说:“直线BC不过点A”;乙说:“点A在直线CD外”; 丙说:“D在线段CB的反向延长线上;”丁说:“A,B,C,D两两连结,有5条线段” ; 戊说:“射线AD与射线CD不相交”. 其中说明正确的有( ).
A. 3人B. 4人C. 5人D. 2人
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,3),B(2,5),C(4,2)(每个方格的边长均为1个单位长度)
(1)将△ABC平移,使点A移动到点A1,请画出△A1B1C1;
(2)作出△ABC关于O点成中心对称的△A2B2C2,并直接写出A2,B2,C2的坐标;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2是否成中心对称?若是,请写出对称中心的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A是抛物线与x轴正半轴的交点,点B在抛物线上,其横坐标为2,直线AB与y轴交于点点M、P在线段AC上不含端点,点Q在抛物线上,且MQ平行于x轴,PQ平行于y轴设点P横坐标为m.
(1)求直线AB所对应的函数表达式.
(2)用含m的代数式表示线段PQ的长.
(3)以PQ、QM为邻边作矩形PQMN,求矩形PQMN的周长为9时m的值.
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【题目】阅读下列材料:
1637 年笛卡儿(R.Descartes,1596 1650)在其《几何学》中,首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解,并最早给出因式分解定理.
他认为,若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除,则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积,而且令这个多项式的值为 0 时, x = a 是关于 x 的这个方程的一个根.
例如:多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积,即
令时,可知 x =1 为该方程的一个根.
关于笛卡尔的“待定系数法”原理,举例说明如下: 分解因式:
观察知,显然 x=1 时,原式 = 0 ,因此原式可分解为 () 与另一个整式的积.
令:,则=,因等式两边 x 同次幂的系数相等,则有:,得,从而
此时,不难发现 x= 1 是方程 的一个根.
根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题:
(1)若 是多项式 的因式,求 a 的值并将多项式分解因式;
(2)若多项式 含有因式及 ,求a+ b 的值.
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【题目】已知,如图A、B分别为数轴上的两点,A点对应的数为-10,B点对应的数为90.
(1)请写出与A,B两点距离相等的M点对应的数;
(2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时,以3个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以2个单位/秒的速度向右运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇,求C点对应的数是多少.
(3)若当电子蚂蚁P从B点出发时,以3个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发,以2个单位/秒的速度向右运动,求经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A的坐标为(4,3),点D是边OC上的一点,点E在直线OB上,连接DE、CE,则DE+CE的最小值为( )
A. 5B. +1C. 2D.
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