Question

【题目】阅读下列材料：

1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．

他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．

例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即

令时，可知 x =1 为该方程的一个根．

关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：

观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．

令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而

此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．

根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；

（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）a+ b=

【解析】

（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案

（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值带入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案

（1）令：，

因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，

解得：，

从而=x3+1=（x+1）(x2-x+1)；

（2）设（其中M为二次整式），

由材料可知：x+1=0或x-2=0；

所以：x=-1，x=2是方程的解，

所以，

解得a=8，b=-39，

∴a＋b=8+(-39) =-31．