Question

10．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；
（3）在（2）的条件下折痕EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，再利用AD∥AC得到∠FAC=∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF=OE，加上OA=OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；
（2）设菱形的边长为x，则BE=BC-CE=8-x，AE=x，在Rt△ABE中根据勾股定理得（8-x）²+4²=x²，然后解方程即可得到菱形的边长；
（3）先在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AC=4$\sqrt{5}$，则OA=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理计算出OE=$\sqrt{5}$，所以EF=2OE=2$\sqrt{5}$．

解答 （1）证明：∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC=∠ECA，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）解：设菱形的边长为x，则BE=BC-CE=8-x，AE=x，
在Rt△ABE中，∵BE²+AB²=AE²，
∴（8-x）²+4²=x²，解得x=5，
即菱形的边长为5；
（3）解：在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴EF=2OE=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了菱形的判定与性质：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．也考查了折叠的性质．