Question

【题目】数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．

（1）初步尝试

如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；

（2）类比发现

如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；

（3）深入探究

如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t= ．

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）t=

【解析】

试题分析：（1）①先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题．②根据①的结论得到BE=AF，由此即可证明．（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，由△ACE∽△HCF，得=由此即可证明；（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．先证明△CFN∽△CEM，得=，由ABCM=ADCN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以==，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，想办法求出AC，AE+3AF即可解决问题．

试题解析：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°， ∴∠D=∠B=60°， ∵AD=AB，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC， ∵∠ECF=60°，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°， ∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中， ∴△BCE≌△ACF．

②∵△BCE≌△ACF， ∴BE=AF， ∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．

（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x， ∴AD=2AB=4x， ∴AH=AD﹣DH=3x， ∵CH⊥AD，

∴AC==2x， ∴AC2+CD2=AD2， ∴∠ACD=90°， ∴∠BAC=∠ACD=90°， ∴∠CAD=30°，

∴∠ACH=60°， ∵∠ECF=60°， ∴∠HCF=∠ACE， ∴△ACE∽△HCF， ∴==2， ∴AE=2FH．

（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H． ∵∠ECF+∠EAF=180°，

∴∠AEC+∠AFC=180°， ∵∠AFC+∠CFN=180°， ∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°， ∴△CFN∽△CEM，

∴=， ∵ABCM=ADCN，AD=3AB， ∴CM=3CN， ∴==，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，

∵∠MAH=60°，∠M=90°， ∴∠AHM=∠CHN=30°， ∴HC=2a，HM=a，HN=a，

∴AM=a，AH=a， ∴AC==a，

AE+3AF=（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a， ∴==．