Question

【题目】如图，在中，，以为边作等边，连接.

（1）如图1，若，求的面积；

（2）如图2，若，点为中点，连接，且，延长至点，连接，使得，求证：；

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）延长BC，作DE⊥BC，根据直角三角形的性质得出AC=2，BC=，然后根据等边三角形的性质即可得出△BCD的高，即可得出其面积；

（2）延长AB到G使AG=AB，易△ADG△ACF，∠G=∠F=30°，AE是中位线，可得AE∥GD，得∠CFA=90°，AE=DG=CF，再证CH＝CF，得CE=AH，可得四边形AECH是矩形，CE=AH，HF=AE即可.

（1）延长BC，作DE⊥BC于点E，如图所示：

∵，

∴AC=2，BC=

又∵等边，DE⊥BC

∴AC=CD=AD=2，∠DCE=30°

∴DE=1

∴

故答案为；

（2）延长BA到G，使得AB=AG，连接DG，作CH⊥AF于H，如图所示：

∵，，AB=AG

∴AB=AF=AG，∠BAF=120°

∴∠GAF=60°

∵等边

∴∠CAD=60°，AC=AD，

∴∠CAF=∠DAG

∴△ACF≌△ADG（SAS）

∴DG=CF，∠AGD=∠AFC=30°

又∵点为中点，AB=AG，

∴，∠BAE=∠AGD=30°

∴∠EAF=90°

又∵CH⊥AF，

∴，

∴，

∵

∴四边形AECH为矩形

∴AH=CE

∴

即可得证.