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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,且满足,点上一个动点(不与)重合),连接.

1 2

1)直接写出 ______________________

2)如图1,过点的垂线交过点平行于轴的直线于点,若点

求点的坐标;

3)如图2,以为斜边在右侧作等腰.连接,当点运动过程中,的面积是否发生变化,请判断并说明理由.

【答案】1;(2;(3)面积不变为4,理由见解析.

【解析】

1)根据完全平方公式即可化简,再根据非负性求解;

2)过点轴于点,证明△APM为等腰直角三角形,再得到,得到,过轴于点,根据得到

,故可得到OM,即可求出AC的长,即可求解;

3)延长,使 得到为等腰三角形,再证明得到,根据直角三角形斜边上的中线性质得到AD=PD=DE,延长至点,使,得到四边形APFE为矩形,得到点在运动过程中,点垂直平分线上运动,可得△BODBO边上的高为,再根据三角形的面积即可求解.

1)∵

a+b=0a-4=0

a=4,b=-4

故答案为:

2)过点轴于点

A0,4,B-4,0

∴∠BAO=45°

∴△APM为等腰直角三角形,

∵∠OPC=MPA=90°

∴∠OPC-MPC=MPA-MPC

∴∠OPM=CPA

AP=MP,∠PAM=PMA=45°

又∠PAC=PMO=135°

轴于点,又

3)延长,使,连接

△POD为等腰直角三角形,

PD=OD=DEODPE

为等腰三角形,

PO=EO

AO=BO∠POE=∠AOB=90°

∵∠POE-∠AOP=∠AOB-∠AOP

∴∠POB=∠EOA

SAS

AD=PD=DE,

延长至点,使

AD=DF=PD=DE,

∴四边形APFE为矩形,

,即

在运动过程中,点垂直平分线上运动,

∴△BODBO边上的高为

.

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