【题目】如图,在正方形ABCD中,过B作一直线与CD相交于点E,过A作AF垂直BE于点F,过C作CG垂直BE于点G,在FA上截取FH=FB,再过H作HP垂直AF交AB于P.若CG=3.则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 _________ .
【答案】9.
【解析】
试题由ABCD为正方形,根据正方形的性质得到AB=BC,∠ABC=90°,即∠CBG+∠ABF=90°,又根据CG与BE垂直得到∠BCG+∠CBG=90°,根据同角的余角相等得到一对角相等,又根据一对直角相等,利用“AAS”即可得到三角形BCG与三角形FBA全等,根据全等三角形的对应边相等得到AF与BG相等,又因为FH=FB,从而得到AH=FG,然后由垂直得到一对直角相等,加上一个公共角,得到三角形APH与三角形ABF相似,根据相似得比例,设AH=FG=x,用x表示出PH,由四边形PHFB一组对边平行,另一组对边不平行得到此四边形为梯形,根据梯形的面积公式,由上底PH,下底为BF=3,高FH=3,表示出梯形的面积;然后在三角形BCG与三角形ECG中,根据同角的余角相等,再加上一对直角得到两三角形相似,根据相似得比例,用含x的式子表示出GE,由CG=3,利用表示出的GE,利用三角形的面积公式表示出直角三角形CGE的面积,把表示出的两面积相加,化简即可得到值.
试题解析:∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,即∠CBG+∠ABF=90°,
又CG⊥BE,即∠BGC=90°,
∴∠BCG+∠CBG=90°,
∴∠ABF=∠BCG,
又AF⊥BG,
∴∠AFB=∠BGC=90°,
∴△ABF≌△BCG,
∴AF=BG,BF=CG=FH=3,
又∵FH=BF,
∴AH=FG,设AH=FG=x,
∵PH⊥AF,BF⊥AF,
∴∠AHP=∠AFB=90°,又∠PAH为公共角,
∴△APH∽△ABF,
∴,即PH=,
∵FH∥BF,BP不平行FH,
∴四边形BFHP为梯形,其面积为;
又∵∠BCG+∠ECG=90°,∠ECG+∠BEC=90°,
∴∠BCG=∠BEC,又∠BGC=∠CGE=90°,
∴△BCG∽△CEG,
∴,即GE=,
故Rt△CGE的面积为×3×,
则△CGE与四边形BFHP的面积之和为.
考点: 1.正方形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,,且,满足,点为上一个动点(不与,)重合),连接.
图1 图2
(1)直接写出 ___________,___________;
(2)如图1,过点作的垂线交过点平行于轴的直线于点,若点,
求点的坐标;
(3)如图2,以为斜边在右侧作等腰,.连接,当点从向运动过程中,的面积是否发生变化,请判断并说明理由.
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【题目】甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍,两人各加工 600 个这种零件,甲比乙少用 5 天.
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件?
(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是 150 元和 120 元,现有 3000 个这种零件的加工任务,甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过 7800 元,那么甲至少加工了多少天?
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【题目】如图1,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线y=x2+bx+c经过点B,与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2),设点D的横坐标为t(0<t<4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“落点”,请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.
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【题目】某小组做“用频率估计概率”的实验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线图,则符合这一结果的实验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子,向上一面的点数是4
C. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌,抽中红桃
D. 抛掷一枚均匀的硬币,前2次都正面朝上,第3次正面仍朝上
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【题目】如图,点A(m,m+1),B(m+1,2m-3)都在反比例函数的图象上.
(1)求m,k的值;
(2)如果M为x轴上一点,N为y轴上一点, 以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形,试求直线MN的函数表达式.
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【题目】如图1,矩形ABCD中,点E是边AD上动点,点F是边BC上动点,连接EF,把矩形ABCD沿直线EF折叠,点B恰好落在边AD上,记为点G;如图2,把矩形展开铺平,连接BE,FG.
(1)判断四边形BEGF的形状一定是 ,请证明你的结论;
(2)若矩形边AB=4,BC=8,直接写出四边形BEGF面积的最大值为 .
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【题目】平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示,,,AC=4,把平行四边形绕点逆时针方向旋转,使点落在轴上,则旋转后点的对应点的坐标为________.
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