Question

【题目】如图1，矩形ABCD中，点E是边AD上动点，点F是边BC上动点，连接EF，把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上，记为点G；如图2，把矩形展开铺平，连接BE，FG.

（1）判断四边形BEGF的形状一定是　 　，请证明你的结论；

（2）若矩形边AB＝4，BC＝8，直接写出四边形BEGF面积的最大值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）四边形BEGF是菱形，证明见解析；（2）四边形BEGF面积的最大值为20.

【解析】

（1）由折叠的性质可得∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，由平行线的性质可得∠DEF＝∠GFE＝∠EFB，可得EG＝FG＝BF，AD∥BC，可证四边形BEGF是菱形；

（2）当EG最大时，四边形BEGF面积有最大值，由勾股定理可求EG的长，即可求解．

（1）四边形BEGF是菱形，

∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB，

∵把矩形ABCD沿直线EF折叠，点B恰好落在边AD上，

∴∠BFE＝∠EFG，BF＝FG，

∴∠DEF＝∠GFE，

∴EG＝FG，

∴EG＝BF，且AD∥BC，

∴四边形BEGF是平行四边形，且BF＝FG，

∴四边形BEGF是菱形，

（2）∵四边形BEGF是菱形，

∴BE＝EG，

∵S四边形BEGF＝EG×AB＝4EG，

∴当EG最大时，四边形BEGF面积有最大值，

当AE+EG＝AD时，EG最大，

∵AB2+AE2＝BE2，

∴，

∴，

∴BE＝5＝EG，

∴四边形BEGF面积的最大值＝4×5＝20.