已知二次函数y=(x-m)2+n．(1)若它的图象是由二次函数y=x2的图象先向右平移1个单位长度.再向下平移4个单位长度得到的.且交x轴于A.B两点.交y轴于点C.顶点为D．①m=1.n=-4.B点坐标为,②连接BD.BC.CD.判断△BCD的形状.并证明你的结论,③若点P在y轴上.且∠PBO+∠OCB=∠OBD.求点P的坐标,(2)已知n=1-m2.在自� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

18．

已知二次函数y=（x-m）²+n（m、n为常数）．
（1）若它的图象是由二次函数y=x²的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的，且交x轴于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，顶点为D．
①m=1，n=-4，B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，-3）；
②连接BD、BC、CD，判断△BCD的形状，并证明你的结论；
③若点P在y轴上，且∠PBO+∠OCB=∠OBD，求点P的坐标；
（2）已知n=1-m²，在自变量x的值满足-2≤x≤1的情况下，与其对应的函数值y的最小值为-2，求m的值．

分析（1）①根据平移规律得到m、n的值；由抛物线解析式来求点B、C的坐标；
②利用勾股定理的逆定理进行证明；
③结合等腰三角形的性质、等量代换推知∠PBO=∠CBD，通过锐角三角函数的定义来求点P的坐标；
（2）需要对m的取值范围进行分类讨论，结合抛物线的增减性来求m的值．

解答解：（1）①二次函数y=x²的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线解析式为：y=（x-1）²-4，即m=1，n=-4；
令x=0，则y=3，即C（0，-3）．
令y=0，则（x-1）²-4=0，则x=3或x=-1，结合函数图象知，B（3，0）．
故答案是：1；-4；（3，0）；（0，-3）；

②△BCD为直角三角形，证明如下：
由抛物线解析式为：y=（x-1）²-4得到D（1，-4）．
∵B（3，0），C（0，-3）．
∴CD²=（1-0）²+（-4+3）²=2，BC²=3²+3²=18，BD²=（1-3）²+（-4-0）²=20，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD为直角三角形；

③∵B（3，0），C（0，-3）．
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠PBO+∠OCB=∠OBD，
∴∠PBO+∠OBC=∠OBC+∠CBD，
∴∠PBO=∠CBD，
∴tan∠PBO=tan∠CBD，即$\frac{OP}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，则OP=1，故P（0，±1）；

（2）∵n=1-m²，
∴y=（x-m）²+1-m²，
则对称轴是x=m．
①当m≤-2时，取x=-2时，y_最小值=（-2-m）²+1-m²=-2，
解得m=$-\frac{7}{4}$，舍去；
②当-2≤m≤1时，取x=m时，y_最小值=（m-m）²+1-m²=-2，
解得，m₁=$-\sqrt{3}$，m₂=$\sqrt{3}$（舍去）；
③当m≥1时，取x=1时，y_最小值=（1-m）²+1-m²=-2，
解得m=2．
综上所述，m的值是-$\sqrt{3}$或2．

点评此题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

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