Question

8．已知：二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（-3，0），与y轴交于点C，点D（-2，-3）在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据坐标与图形的关系求出AB、OC的长，计算即可；
（3）根据轴对称的性质求出点P的坐标，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{9-3b+c=0}\\{4-2b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=x²+2x-3；
（2）x²+2x-3=0，
x₁=-3，x₂=1，
点B的坐标（1，0），点C的坐标为（0，-3），
则AB=4，OC=3，
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）点A与点B关于x=-1对称，
连接BD交直线x=-1与P，
则点P即为所求，
作DE⊥AB于E，
则BE=3，DE=3，
由勾股定理得，BD=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、最短路线问题，掌握二次函数的性质和待定系数法是解题的关键．