Question

【题目】已知二次函数y=(m﹣2)x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点，(x1，0)，(x2，0)，则下列说法正确是(　　)

①该函数图象一定过定点(﹣1，﹣5)；

②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：m＜2；

③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为：4m﹣5；

④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：m＜11．

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①把二次函数整理成合适的形式，再把点(﹣1，﹣5)代入即可判断正误；

②由函数图象开口向下可知，二次项系数小于0，即m﹣2＜0，且根的判别式大于0，即△=b2﹣4ac=20m﹣24＞0，解不等式即可求解；

③由m＞2，可知二次函数开口向上，再判断函数的对称轴的位置，再根据函数增减性即可判断；

④根据开口向上的二次函数与x轴交点的特点可得关于m的不等式，解不等式即可判断．

①y=(m﹣2)x2+2mx+m﹣3=m(x+1)2﹣2x2﹣3，

当x=﹣1时，y=﹣5，故该函数图象一定过定点(﹣1，﹣5)，符合题意；

②若该函数图象开口向下，则m﹣2＜0，且△＞0，

△=b2﹣4ac=20m﹣24＞0，解得：m，且m＜2，故m的取值范围为：m＜2，符合题意；

③当m＞2，m－2＞0,即二次函数开口向上，对称轴x＝＝＝＜,函数的对称轴在﹣1的左侧，则当1≤x≤2时，y随x的增加而增大，在x=2时，y取得最大值，y的最大为：4 (m－2)+4m+m－3=9m－11，故原答案错误，不符合题意；

④当m＞2，x=﹣3时，y=9(m﹣2)﹣6m+m﹣3=4m﹣21，当x=﹣2时，y=m﹣11，当﹣3＜x1＜﹣2时，则(4m﹣21)(m﹣11)＜0，解得：m＜11；

同理﹣1＜x2＜0时，m＞3，故m的取值范围为：m＜11正确，符合题意．

故选：B．