Question

如图，矩形EFHG的边GH在△ABC边BC上，其他两个顶点分别在边AB、AC上，已知△ABC的边BC=120cm，BC边上的高AD为80cm；求：
（1）当矩形EFHG是正方形时，求这个正方形的边长；
（2）设EG的长为x cm，x为何值时，矩形EFHG的面积最大？并求面积的最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：（1）证明△AEF∽△ABC，列出比例式，即可解决问题．
（2）用变量x来表示EF的长度，进而表示出矩形EFHG的面积，即可解决问题．

解答：解：（1）∵四边形EFHG是正方形，且AD⊥BC，
∴EF∥BC，EG=EF=MD（设为λ），
∴△AEF∽△ABC，AM=80-λ；
∴EF：BC=AM：AD，
即λ：120=（80-λ）：80，
解得：λ=48（cm），
即这个正方形的边长为48cm．
（2）设矩形EFHG的面积为λ，
由（1）知：EF：BC=AM：AD，
即EF：120=（80-x）：80，
解得：EF=120-1.5x，
∴λ=x（120-1.5x）=-1.5x²+120x，
∴当x=-

120

2×(-1.5)

=40时，λ取得最大值，
λ的最大值=-1.5×1600+120×40=2400（cm²）．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、二次函数的性质等数学知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合运用能力提出了一定的要求．