Question

如图，已知四边形ABCD，∠B=∠C=90°，P是BC边上的一点，∠APD=90°．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若BC=10，CD=3，PD=3

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，求AB的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠BAP=∠CPD，∠B=∠C=90，即可解决问题．
（2）首先求出PC的长度；借助（1）中的△ABP∽△PCD，列出比例式即可解决问题．

解答：（1）证明：∵∠APD=90°，
∠APB+∠APD+∠CPD=180°                       
∴∠APB+∠CPD=180°-∠APD=180°-90⁰=90⁰；
∵∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CPD．
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCD．
（2）解：由勾股定理得：
PC²=PD²-CD²=(3

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)2-32，
∴PC=6，PB=10-6=4；
由（1）知，△ABP∽△PCD，
∴AB：PC=BP：CD，
∵BC=10，CD=3，PC=6，
∴AB：6=4：3，
∴AB=8．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入观察、大胆猜测、严格推理、科学论证．