【题目】如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AB、BC的中点,连接AF、DE相交于点G,连接CG.
(1)求证:AF⊥DE;
(2)求证:CG=CD.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题(1)正方形ABCD中,AB=BC,BF=AE,且∠ABF=∠DAE=90°,即可证明△ABF≌△DAE,即可得∠DGA=90°,结论成立.
(2)延长AF交DC延长线于M,证明△ABF≌△MCF,说明△DGM是直角三角形,命题得证.
试题解析:(1)∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC=CD=AD,∠ABF=∠DAE=90°,
又∵E,F分别是边AB.BC的中点
∴AE=AB.BF=BC
∴AE=BF.
在△ABF与△DAE中,
,
∴△DAE≌△ABF(SAS).
∴∠ADE=∠BAF,
∵∠BAF+∠DAG=90°,
∴∠ADG+∠DAG=90°,
∴∠DGA=90°,即AF⊥DE.
(2)证明:延长AF交DC延长线于M,
∵F为BC中点,
∴CF=FB
又∵DM∥AB,
∴∠M=∠FAB.
在△ABF与△MCF中,
∴△ABF≌△MCF(AAS),
∴AB=CM.
∴AB=CD=CM,
∵△DGM是直角三角形,
∴GC=DM=DC.
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【题目】如图,边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合,AF∥x轴,将该正六边形绕原点O顺时针旋转n次,每次旋转60°,当n=63时,顶点F的坐标为_____.
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【题目】在一个不透明的布袋里装有4个标有数字为-3、-1、2、4的小球,它们的材质、形状、大小完全相同,小明从布袋里随机取出一个小球,记下数字为x,小红从剩下的3个小球中随机取出一个小球,记下数字为y,这样确定了点P的坐标(x,y).
(1)请你运用画树状图或列表的方法,写出点P所有可能的坐标;
(2)求出点P(x,y)满足x+y>1的概率.
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【题目】如图,矩形ABCD中,点E在AD边上,过点E作AB的平行线,交BC于点F,将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转,使点F的对应点落在边CD上,点B的对应点N落在边BC上.
(1)求证:BF=NF;
(2)已知AB=2,AE=1,求EG的长;
(3)已知∠MEF=30°,求的值.
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【题目】某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y=mx2+20x+n,其图象如图所示.
(1)m=_____,n=_____.
(2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
(3)该种商品每天的销售利润不低于16元时,直接写出x的取值范围.
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【题目】由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达处时,测得小岛位于它的北偏东方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处,求还需航行的距离的长.
(参考数据:,,,,,)
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【题目】已知x1、x2是关于x的方程x2+2x+2k﹣4=0两个实数根,并且x1≠x2.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值;
(3)若|x1﹣x2|=6,求的值.
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【题目】如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC 和 AB 上,BE=3,AF=2,BF=4,将△ BEF 绕点 E 顺时针旋转,得到△GEH,当点 H 落在 CD 边上时,F,H 两点之间的距离为_____.
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