【题目】如图,矩形ABCD中,点E在AD边上,过点E作AB的平行线,交BC于点F,将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转,使点F的对应点落在边CD上,点B的对应点N落在边BC上.
(1)求证:BF=NF;
(2)已知AB=2,AE=1,求EG的长;
(3)已知∠MEF=30°,求的值.
【答案】(1)详见解析;(2)EG=;(3).
【解析】
(1)连结BE,EN,根据旋转的性质可知BE=EN,由∠EFB=90°,根据等腰三角形底边的高是底边中线即可证明BF=NF.(2)根据旋转的性质可证明△NGF≌△HGE,进而证明FG=GH,根据勾股定理求出GE的长即可.(3)根据EF//CD可知∠MEF=DME=30°,由旋转性质可知∠EMN=90°,进而可知∠CNM=30°,设DE=x,则ME=2x,MD=x,进而可求出CM的长,即可求出MN的长,根据BC=DE+MN即可求出BC的长,进而求出答案.
(1)连结BE,EN,如图,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BFE=90°,
由旋转得BE=EN,
∴BF=NF;
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴BF=AE,EF=AB,
由旋转得EH=EA,
∵BF=NF,
∴EH=NF,
∵∠BFE=∠GHE=90°,∠NGF=∠HGE,
∴△NGF≌△HGE,
∴FG=GH,
设GE=x,则GF=GH=2﹣x,
由勾股定理得x2﹣(2﹣x)2=1,
解得x=,
∴EG=;
(3)∵EF∥DC,
∴∠DME=∠MEF=30°,
设DE=x,
∵∠D=90°,
∴ME=DC=AB=2x,DM=x,
∴MC=(2﹣)x,
∵∠NME=90°,∠DME=30°,
∴∠NMC=60°,
∴∠MNC=30°,
∴MN=2MC=2(2﹣)x,
∴BC=AD=DM+MN=2(2﹣)x+x=(5﹣2)x,
∴=.
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【题目】如图,在矩形中,,,点、分别在、上,,现把一块直径为的量角器(圆心为)放置在图形上,使其线与重合;若将量角器线上的端点固定在点上,再把量角器绕点顺时针方向旋转,此时量角器的半圆弧与相交于点,设点处量角器的读数为.
用含的代数式表示的大小;
当等于多少时,线段与平行?
在量角器的旋转过程中,过点作,交于点,交于点.设,的面积为,试求出关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
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【题目】有A、B两组卡片共5张,A组的三张分别写有数字2,4,6,B组的两张分别写有3,5.它们除了数字外没有任何区别,
(1)随机从A组抽取一张,求抽到数字为2的概率;
(2)随机地分别从A组、B组各抽取一张,请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则:若选出的两数之积为3的倍数,则甲获胜;否则乙获胜.请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗?为什么?
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【题目】如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是CD边的中点,延长BC至点F,使得CF=CE,连接BE,DF,将△BEC绕点C按顺时针方向旋转,当点E恰好落在DF上的点H处时,连接AG,DG,BG,则AG的长是_____.
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【题目】我市某中学举行“中国梦校园好声音”歌手大赛,高、初中部根据初赛成绩,各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛,两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示:
(1)根据图示填写下表:
平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) | |
初中部 | 85 |
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高中部 | 85 |
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(2)结合两队成绩的平均数中中位数,分析哪个队的决赛成绩较好;
(3)计算两队决赛成绩的方差,并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定.
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