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【题目】如图,矩形ABCD中,点EAD边上,过点EAB的平行线,交BC于点F,将矩形ABFE绕着点E逆时针旋转,使点F的对应点落在边CD上,点B的对应点N落在边BC上.

(1)求证:BF=NF;

(2)已知AB=2,AE=1,求EG的长;

(3)已知∠MEF=30°,求的值.

【答案】(1)详见解析;(2)EG=;(3)

【解析】

(1)连结BE,EN,根据旋转的性质可知BE=EN,由∠EFB=90°,根据等腰三角形底边的高是底边中线即可证明BF=NF.(2)根据旋转的性质可证明△NGF≌△HGE,进而证明FG=GH,根据勾股定理求出GE的长即可.(3)根据EF//CD可知∠MEF=DME=30°,由旋转性质可知∠EMN=90°,进而可知∠CNM=30°,设DE=x,ME=2x,MD=x,进而可求出CM的长,即可求出MN的长,根据BC=DE+MN即可求出BC的长,进而求出答案.

(1)连结BE,EN,如图,

四边形ABCD是矩形,

∴∠BFE=90°,

由旋转得BE=EN,

∴BF=NF;

(2)∵四边形ABCD是矩形,

∴BF=AE,EF=AB,

由旋转得EH=EA,

∵BF=NF,

∴EH=NF,

∵∠BFE=∠GHE=90°,∠NGF=∠HGE,

∴△NGF≌△HGE,

∴FG=GH,

GE=x,则GF=GH=2﹣x,

由勾股定理得x2﹣(2﹣x)2=1,

解得x=

∴EG=

(3)∵EF∥DC,

∴∠DME=∠MEF=30°,

DE=x,

∵∠D=90°,

∴ME=DC=AB=2x,DM=x,

∴MC=(2﹣)x,

∵∠NME=90°,∠DME=30°,

∴∠NMC=60°,

∴∠MNC=30°,

∴MN=2MC=2(2﹣)x,

∴BC=AD=DM+MN=2(2﹣)x+x=(5﹣2)x,

=

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