Question

【题目】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是CD边的中点，延长BC至点F，使得CF=CE，连接BE，DF，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转，当点E恰好落在DF上的点H处时，连接AG，DG，BG，则AG的长是_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

如图，过C作CK⊥DF于K，过H作HM⊥CF于M，过G作PN⊥BC，交AD于P，交BC于N，

∵CD=2，CE=CF=，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∴∠BCF=90°，

由勾股定理得：DF==5，

∵CK⊥DF，DC⊥CF，

∴∠FCK=∠CDF，

sin∠FCK=sin∠CDF=，

∴，

FK=1，

∴CK==2，

由旋转得：CH=CE=CF，

∵CK⊥FH，

∴HF=KF=1，

∴HF=2，

∴S△CHF=CFHM=HFCK，

HM=2×2，

HM=，

∴CM==，

∴tan∠HCF===，

设HM=4x，CM=3x，则CH=5x，

∵∠HCF=∠GCD=∠CGN，

∴cos∠CGN=cos∠HCF==，

∴GN=CG，

∵CG=BC=2，

∴GN=×2=，

∴NC===，

∴GP=2﹣=，

∴AP=BN=BC﹣NC=2﹣=，

由勾股定理得：AG===2；

故答案为：2．