Question

如图，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，且交BC于点D，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交AD于点F．
（1）求证：①△ADE≌△ADC； ②四边形CDEF是菱形．
（2）求证：△ACF∽△ABD；
（3）请你以线段AE为直径作圆（只保留作图痕迹，不写作法），若所作的圆交DF于点H，小明认为点H是线段DF的中点．你同意他的观点吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根据已知首先得出∠EAD=∠CAD进而利用SAS即可得出△ADE≌△ADC；
②由△ADE≌△ADC得：ED=CD，∠EDA=∠CDA，进而得出ED=CD=EF，四边形CDEF是菱形；
（2）根据利用SAS即可得出△AFE≌△AFC，进而得出△AEF∽△ABD，即可得出答案；
（3）利用等腰三角形性质即可得出DH=HF．
解答：证明：
（1）①在△ADE和△ADC中；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵在△ADE和△ADC中，
∴△ADE≌△ADC（SAS）；
②由△ADE≌△ADC得：
ED=CD，∠EDA=∠CDA，
∵EF∥BC
∴∠CDF=∠EFD，
∴∠EDA=∠EFD，
即：ED=CD=EF，
∴四边形CDEF是菱形；

（2）在△AEF和△ACF中；
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠CAF，
∵在△AFE和△AFC中，
∴△AFE≌△AFC（SAS）； 
又∵EF∥BC
∴△AEF∽△ABD； 
即：△ACF∽△ABD；

（3）同意；
连接EH，
∵AE是圆的直径，∴∠AHE=90°，
即：EH⊥DF，
又∵ED=EF，
∴DH=HF．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及等腰三角形的性质和相似三角形的判定，利用等腰三角形的性质得出DH=EH是解题关键．