Question

【题目】已知抛物线的对称轴是直线且与轴相交于两点，与轴交于点点的坐标为．

求抛物线的解析式；

若点是第一象限内抛物线上一点，过点作直线轴于点交直线于点当时，求四边形的面积．

在的条件下，若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）满足条件的点的坐标为或或

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴是直线，点在抛物线上，列出方程组，求得中字母的值，即可得到抛物线的解析式．

（2）先根据抛物线的解析式，得到点、点的坐标；再由点、点的坐标，得到直线的解析式；设点的坐标为，得，，根据已知条件，列出方程，通过解方程求得未知数，得到、，三点坐标，根据三角形面积公式，结合图1，利用割补法求面积，即有，即可得到答案．

（3）设点的坐标为，分三种情况进行讨论：如图2，当为对角线时，点的坐标为；如图3，当为对角线时，点的坐标为；如图4．当为对角线时，点的坐标为，分别将点的坐标代入，即得到三个不同的点．

解：（1）∵点的坐标为，对称轴是直线，

解得

抛物线的解析式为．

（2）画出图形，如图1所示，

图1

令，代入，

解得，，

∵点的坐标为，

∴点的坐标为，

令，代入，得，

∴点的坐标为，

可求得直线的解析式为．

设点的坐标为，

则，，

∵，

∴，

解得，(舍去)，

∴，，，

∵，

，

，

∴．

（3）设点的坐标为，

如图2，当为对角线时，点的坐标为，

图2

将点坐标代入得，，

此时点的坐标为；

如图3，当为对角线时，点的坐标为，

图3

将点坐标代入得， ，

此时点的坐标为；

如图4．当为对角线时，点的坐标为，

图4

将点坐标代入得，，

此时点的坐标为．

综上所述，满足条件的点的坐标为或或．