Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB如图放置，点A的坐标为（3，4），点P是AB边上的一点，过点P的反比例函数y=

k

x

(k＞0，x＞0)与OA边交于点E，连接OP．
（1）如图1，若点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为

5

2

，求反比例函数的解析式；
（2）如图2，过P作PC∥OA，与OB交于点C，若PC=

1

2

OE，并且△OPC的面积为

3

2

，求OE的长．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）过点P作PD⊥OB于点D，根据点B的坐标为（5，0），且△OPB的面积为

5

2

求出PD的长，求出直线AB的解析式，故可得出P点坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）先根据勾股定理求出OA的长，△OPC的面积为

3

2

求出OC的长，再由PC∥OA可知△BCP∽△BOA，故可得出OC的长，由PC=

1

2

OE即可得出OE的长．

解答：解：（1）过点P作PD⊥OB于点D，
∵点B的坐标为（5，0），
△OPB的面积为

5

2

，
∴

1

2

×5PD=

5

2

，解得PD=1，
设直线AB的解析式为
y=ax+b（a≠0），
∵A（3，4），B（5，0），
∴

3a+b=4 5a+b=0

，解得

a=-2 b=10

，
∴直线AB的解析式为y=-2x+10，
当y=1时，-2x+10=1，解得x=

9

2

，
∴P（

9

2

，1），
∵点P的反比例函数y=

k

x

（x＞0）上，
∴1=

k

9 2

，解得k=

9

2

，
∴反比例函数的解析式为：y=

9

2x

；

（2）∵点A的坐标为（3，4），
∴OA=

32+42

=5，
∵△OPC的面积为

3

2

，
∴

1

2

OC×1=

3

2

，解得OC=3，
∴BC=5-3=2，
∵PC∥OA，
∴△BCP∽△BOA，
∴

PC

OA

=

BC

OB

，即

PC

5

=

2

5

，解得PC=2，
∵PC=

1

2

OE，
∴OE=4．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．