Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（-8，0），直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度（0＜α≤180°）得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．在四边形OABC旋转过程中，若BP=B′Q，则点P的坐标为________．

Answer 1

（-2，6）
分析：连接OB、OQ、OB′，根据旋转变换的性质可得OB=OB′，∠OBC=∠OB′C，然后利用“边角边”证明△OBP和△OB′Q全等，根据全等三角形对应边相等可得OP=OQ，再根据等腰三角形三线合一可得CP=CQ，然后根据BP=B′Q推出CP=C′P，利用“HL”证明△OCP、△OCQ、△OC′Q全等，根据全等三角形对应角相等可得∠COP=∠COQ=∠C′OQ，从而求出∠OCP=30°，最后利用∠COP的正切值求出CP的值，然后即可写出点P的坐标．
解答：解：如图，连接OB、OQ、OB′，
∵四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转得到四边形OA′B′C′，
∴OB=OB′，∠OBC=∠OB′C，
在△OBP和△OB′Q中，
∵，
∴△OBP≌△OB′Q（SAS），
∴OP=OQ，
∵直线BC经过点B（-8，6），C（0，6），
∴BC⊥y轴，
∴CP=CQ，
∵BP=B′Q，B′C′=BC，
∴BC-BP=B′C′-B′Q，
即CP=C′Q，
∴CP=CQ=C′Q，
又∵OP=OQ（已证），
∴△OCP≌△OCQ≌△OC′Q（HL），
∴∠COP=∠COQ=∠C′OQ，
∴∠OCP=×90°=30°，
∵C（0，6），
∴OC=6，
PC=OC•tan∠COP=6×=2，
∴点P的坐标为（-2，6）．
故答案为：（-2，6）．
点评：本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，然后通过证明三角形全等求出∠OCP=30°是解题的关键．