Question

1．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=1，且抛物线经过
A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB=90°的点P的坐标；
（3）若x轴上有一动点E，抛物线上是否存在一点F，使A、C、E、F构成的四边形为平行四边形？若存在直接写出F点坐标，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得∠OCB，根据余角的性质，可得∠PCD的度数，再根据等腰直角三角形的性质，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案；
（3）分类讨论：①以AE为平行四边形的边，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得CF∥AE，根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案；
②AE为平行四边形的对角线，根据对角顶点到另一条对角线的距离相等，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由A、B点关于x=1对称，A点坐标为（-1，0），得
B点坐标为（3，0）．
将A、B、C点坐标代入抛物线解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=-3}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
这条抛物线所对应的函数关系式为y=x²-2x-3；
（2）设p点坐标为（1，b），如图1：

过P点作PD⊥y轴于D点，由OB=OC，得
∠OBC=∠OCB=45°．
由∠OCB+∠PCD=90°，得
∠PCD=∠CPD=45°．
PD=CD，即-3-b=1，
解得b=-4，
P（1，-4）；
（3）若x轴上有一动点E，抛物线上是存在一点F，使A、C、E、F构成的四边形为平行四边形，理由如下：
①如图2：

以AE为平行四边形的边，CF∥AE，得F点的纵坐标为-3，
即C、F关于x=1对称，得F₁（2，-3）；
②如图3：

以AE为平行四边形的对角线，
F到x轴的距离与C到x轴的距离相等，得F点的纵坐标为3，
即x²-2x-3=3，
解得x₁=1+$\sqrt{7}$，x₂=1-$\sqrt{7}$，
F₂（1+$\sqrt{7}$，3），F₃（1-$\sqrt{7}$，3）．
综上所述：F点坐标F₁（2，-3）；F₂（1+$\sqrt{7}$，3），F₃（1-$\sqrt{7}$，3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题，（1）利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；（2）利用△PCD是等腰直角三角形是解题关键；（3）利用对角顶点到另一条对角线的距离相等得出关于x的方程是解题关键．