Question

4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为$\sqrt{5}$-1≤PC≤$\sqrt{5}$+1．

Answer 1

分析 据条件可知线段AB是定值且AB所对的张角∠APB是定值，根据直径所对圆周角为直角可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上（不与A、B重合），连结CO并延长交圆O分别为P₁、P₂，PC的在P₁C最小，P₂C最大，据此求解可得．

解答 解：∵PA⊥PB，即∠APB=90°，AB=BC=2，
∴点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的⊙O上，

如图，连接CO交⊙O于点P₁，并延长CO交⊙O于点P₂，
∵BO=$\frac{1}{2}$AB=1、BC=2，∠ABC=90°，
∴CO=$\sqrt{B{C}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
当点P位于点P₁时，PC的长度最小，此时PC=OC-OP=$\sqrt{5}$-1；
当点P位于点P₂时，PC的长度最大．此时PC=OC+OP=$\sqrt{5}$+1；
∴$\sqrt{5}$-1≤PC≤$\sqrt{5}$+1，
故答案为：$\sqrt{5}$-1≤PC≤$\sqrt{5}$+1．

点评 本题主要考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系，根据AB是定值且AB所对的张角∠APB=90°得出点P的运动轨迹是解题的关键．