Question

13．（1）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=AB．
①求∠D的度数；
②求tan75°的值．
（2）试利用同样的方法，计算tan22.5°的值．

Answer 1

分析 （1）由BD=AB=15°，所以∠CAD=75°，设BD=AB=2，然后求出$\frac{CD}{AC}$的值即可．
（2）可设∠ABC=45°，由（1）可知，∠D=22.5°，设AB=BD=$\sqrt{2}$，然后求出$\frac{AC}{CD}$的值即可．

解答 解：（1）设BD=AB=2，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠ABC=15°，
∴∠CAD=75°，
∵∠ABC=30°，
∴AC=1，
∴由勾股定理可知：BC=$\sqrt{3}$，
∴CD=2+$\sqrt{3}$
∴tan75°=$\frac{CD}{AC}$=2+$\sqrt{3}$；
（2）设∠ABC=45°，AB=BD=$\sqrt{2}$，
∴∠D=$\frac{1}{2}$∠ABC=22.5°，
∵AB=$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，
∴AC=BC=1，
∴CD=1+$\sqrt{2}$，
∴tan22.5°=$\frac{AC}{CD}$=$\sqrt{2}$-1

点评 本题考查解直角三角形，涉及勾股定理以及锐角三角函数．