Question

14．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P是对角线AC上的一动点（点P与点A、C不重合）
（1）如图1，如果AP=3，求△PAB的面积；
（2）如图2，过点P作PQ⊥PB，PQ分别交射线BC和射线DC于点E、Q．
①设PB=x，PQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
②如果CQ=1，写出AP的长．（不必写出解题过程）

Answer 1

分析 （1）作PG⊥AB于G，根据平行线的性质得到$\frac{AP}{AC}$=$\frac{GP}{BC}$，代入计算求出PG，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）①过P作MN∥BC交AB于M，交DC于N，证明△PMB∽△QNP，得到$\frac{PB}{PQ}$=$\frac{BM}{PN}$=$\frac{3}{4}$，代入即可得到y关于x的函数关系式；
②设CN=3a，则PN=4a，PC=5a，NQ=3a+1，根据△PMB∽△QNP得到比例式，求出a的值，计算即可．

解答 解：如图1，作PG⊥AB于G，
∵∠ABC=90°，AB=3，AD=4，
∴AC=5，
∵PG⊥AB，∠ABC=90°，
∴PG∥BC，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{GP}{BC}$，
∴GP=$\frac{12}{5}$，
∴△PAB的面积=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{12}{5}$=$\frac{18}{5}$；
（2）①如图2，过P作MN∥BC交AB于M，交DC于N，
则BM=CN，
∵PN∥AD，
∴$\frac{CN}{PN}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BM}{PN}$=$\frac{3}{4}$，
∵∠MPB+∠QPN=90°，∠Q+∠QPN=90°，
∴∠MPB=∠Q，又∠PMB=∠QNP=90°，
∴△PMB∽△QNP，
∴$\frac{PB}{PQ}$=$\frac{BM}{PN}$=$\frac{3}{4}$，即y=$\frac{4}{3}$x（$\frac{12}{5}$≤x≤4）；
②设CN=3a，则PN=4a，PC=5a，NQ=3a+1，
∵△PMB∽△QNP，
∴$\frac{NQ}{MP}$=$\frac{PN}{MB}$，即$\frac{3a+1}{4-4a}$=$\frac{4a}{3a}$，
解得，a=$\frac{13}{25}$，
则PC=5a=$\frac{13}{5}$，
∴AP=5-$\frac{13}{5}$=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键．