Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”，已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）如图，点M为线段BC上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；

（3）在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）(0，）；（3）（0，1），（，），（，），（，）．

【解析】

（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得、的坐标；

（2）当点在轴上时，过作轴于点，过作轴于点，则，，，利用勾股定理，可以得出AC的长，设N点坐标为：(0，y），根据翻转，可得，结合点坐标，利用勾股定理，可求得点坐标；

（3）分3种情况：当时，当时，当时，分别结合题目的已知条件进行讨论，即可求出P点坐标．

解：（1）抛物线，

其梦想直线的解析式为，

联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，

，，，

故答案为：；；；

（2）当点在轴上时，为梦想三角形，

如图，过作轴于点，过作轴于点，

则，，，

∴，

设N点坐标为：(0，y）（），则，

∵将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，

则有，即：，

解之得：，

∴N的坐标为：(0，）；

（3）在该抛物线的“梦想直线”上，存在点P，使△ACP为等腰三角形，

∵抛物线中，当时，，，

∴C的坐标为：(-3，0）；

设P点坐标为：(x，-x+1）

①如图示，

当时，即有

解之得：，，

∴P点坐标为：（0，1），（-2，3）（此点为A点，不合题意，舍去）

②如图示，

当时，即有

解之得：，，

∴，

∴P点坐标为：（，），（，）；

③如图示，

当时，作AC的垂直平分线KP，KP交AC于点K，

∴K的坐标为：（-2.5，1.5），

∵A的坐标为：（-2，3），C的坐标为：（-3，0），

∴，

∴，

∴，将（-2.5，1.5）代入，则

∴KP的解析式为：

联立梦想直线与直线KP的解析式可得，解得

∴P点坐标为：（，），

综上所述，P点坐标为：（0，1），（，），（，），（，）；