Question

已知：如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）尺规作图：过点E作EF⊥BC，F为垂足；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）在（1）（2）基础上证明：∠AEF=∠DEF．

Answer 1

解：（1）证明：△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；

（2）如图，根据基本作图过直线外一点作已知直线的垂线的方法作出图形即可．


（3）∵△ABE≌△DCE，
∴BE=CE．
∵EF⊥BC，
∴∠AEF=∠CEF．
∴∠AEF+∠AEB=∠CEF+∠DEC，
∴∠AEF=∠DEF．
分析：（1）由条件直接由AAS就可以得出结论；
（2）如图，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作出图形即可；
（3）由（1）的结论可以得出BE=CE，就有△BEC为等腰三角形，根据三线合一的性质就可以得出∠BEF=∠CEF，再由等式的性质就可以得出结论．
点评：本题考查全等三角形的判定与性质的运用，尺规作图的运用，等腰三角形的性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．