Question

如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是CD、AB的中点，直线EF分别交BC、AD的延长线于S、T两点，求证：∠ATF=∠BSF．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：证明题

分析：连接AC，取AC的中点H，连接EH、FH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥AD，EH=

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AD，FH∥BC，FH=

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BC，然后求出EH=FH，根据等边对等角可得∠EFH=∠FEH，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ATF=∠FEH，两直线平行，内错角相等可得∠BSF=∠EFH，然后等量代换即可得证．

解答：证明：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH、FH，
∵E、F分别是CD、AB的中点，
∴EH、FH分别是△ACD和△ABC的中位线，
∴EH∥AD，EH=

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AD，FH∥BC，FH=

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BC，
∵AD=BC，
∴EH=FH，
∴∠EFH=∠FEH，
又∵EH∥AD，FH∥BC，
∴∠ATF=∠FEH，∠BSF=∠EFH，
∴∠ATF=∠BSF．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行线的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并作辅助线，考虑利用三角形的中位线定理是解题的关键．