Question

在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．
（1）求证：DE=DF；
（2）当∠A=90°时，求证：四边行AFDE为正方形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的判定

专题：证明题

分析：（1）利用HL证得Rt△BED≌Rt△CFD，则由“全等三角形的对应边相等”证得结论；
（2）根据有三个角是直角的四边形是矩形证得四边形AFED是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可证得结论；

解答：（1）证明：如图，∵D为BC的中点，
∴BD=CD．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，

BE=CF BD=CD

，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF；

（2）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠A=90°，
∴四边形AFDE是矩形，
∵DE=DF，
∴矩形AFDE是正方形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，正方形是特殊的矩形；