Question

如图，有两块量角器完全重合在一起（量角器的直径AB=4，圆心为O），保持下面一块不动，上面的一块沿AB所在的直线向右平移，当圆心与点B重合时，量角器停止平移，此时半⊙O与半⊙B交于点P，连接AP．

（1）AP与半⊙B有怎样的位置关系？请说明理由．
（2）在半⊙O的量角器上，A、B点的读数分别为180°、0°时，问点P在这块量角器上的读数是多少？
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,圆周角定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接PB．根据直径所对的圆周角是直角求得∠APB=90°，进而证得AP切半⊙B于点P；
（2）连接OP．则有△OPB为正三角形，从而求得点P在这块量角器上的读数是60°；
（3）根据S_阴影=S_扇形PBC-（S_扇形POB-S_正△POB），即可求得；

解答：解：（1）AP与半⊙B相切；
理由如下：
连接PB．
∵AB为半⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
即AP切半⊙B于点P．
（2）连接OP．则△OPB为正三角形，
则∠POB=60°．
即点P在这块量角器上的读数为60°．
（3）∵S_阴影=S_扇形PBC-（S_扇形POB-S_正△POB），
又∵∠POB=60°，∠PBO=60°，
∴∠PBC=120°，而正△POB的边长为2．
即S阴影=

120•π•22

360

-(

60•π•22

360

-

3

4

×22)=

4π

3

-

2π

3

+

3

=

2π

3

+

3

．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角的定理，扇形面积的计算，正三角形面积的计算，圆周角定理和切线的判定定理是本题的关键；