Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CECA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2 ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DC2=CECA，

∴ = ，

而∠ACD=∠DCE，

∴△CAD∽△CDE，

∴∠CAD=∠CDE，

∵∠CAD=∠CBD，

∴∠CDB=∠CBD，

∴BC=DC；

（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，

∵CD=CB，

∴ = ，

∴∠BOC=∠BAD，

∴OC∥AD，

∴ = = =2，

∴PC=2CD=4 ，

∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，

∴△PCB∽△PAD，

∴ = ，即 = ，

∴r=4，

即⊙O的半径为4．

【解析】（1）由DC2=CECA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC；（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到 = =2，则PC=2CD=4 ，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到 = ，再利用比例的性质可计算出r的值．