Question

【题目】如图，直线y=﹣ x+2 与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和 个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．

（1）求点A，点B的坐标；
（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；
（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．
（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在直线y=﹣ x+2 中，

令y=0可得0=﹣ x+2 ，解得x=2，

令x=0可得y=2 ，

∴A为（2，0），B为（0，2 ）；

（2）

解：由（1）可知OA=2，OB=2 ，

∴tan∠ABO= = ，

∴∠ABO=30°，

∵运动时间为t秒，

∴BE= t，

∵EF∥x轴，

∴在Rt△BEF中，EF=BEtan∠ABO= BE=t，BF=2EF=2t，

在Rt△ABO中，OA=2，OB=2 ，

∴AB=4，

∴AF=4﹣2t；

（3）

解：相似．理由如下：

当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，

即t=4﹣2t，解得t= ，

∴AF=4﹣2t=4﹣ = ，OE=OB﹣BE=2 ﹣ × = ，

如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，

则四边形OEGH为矩形，

∴GH=OE= ，

又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，

∴OA=AH=2，

在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2=（ ）2+22= ，

又AFAB= ×4= ，

∴AFAB=AG2，即 ，且∠FAG=∠GAB，

∴△AFG∽△AGB；

（4）

解：存在，

∵EG∥x轴，

∴∠GFA=∠BAO=60°，

又G点不能在抛物线的对称轴上，

∴∠FGA≠90°，

∴当△AGF为直角三角形时，则有∠FAG=90°，

又∠FGA=30°，

∴FG=2AF，

∵EF=t，EG=4，

∴FG=4﹣t，且AF=4﹣2t，

∴4﹣t=2（4﹣2t），

解得t= ，

即当t的值为 秒时，△AGF为直角三角形，此时OE=OB﹣BE=2 ﹣ t=2 ﹣ × = ，

∴E点坐标为（0， ），

∵抛物线的顶点为A，

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，

把E点坐标代入可得 =4a，解得a= ，

∴抛物线解析式为y= （x﹣2）2，

即y= x2﹣ x+ ．

【解析】（1）在直线y=﹣ x+2 中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到 ，可判定△AFG与△AGB相似；（4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的对称性等．在（2）中求得∠ABO=30°是解题的关键，在（3）中求得t的值，表示出AG的长度是解题的关键，在（4）中判断出∠FAG为直角是解题的突破口．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．