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【题目】如图(1),∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA,OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PQ折叠,点O落在平面内点C处.
(1)①当PC∥QB时,求OQ的长度;
②当PC⊥QB时,求OQ的长.
(2)当折叠后重叠部分为等腰三角形时,求OQ的长.

【答案】
(1)

解:①当PC∥QB时,∠O=∠CPA,

由折叠的性质得:∠C=∠O,OP=CP,

∴∠CPA=∠C,

∴OP∥QC,

∴四边形OPCQ是平行四边形,

∴四边形OPCQ是菱形,

∴OQ=OP=2cm;

故答案为:2cm;

②当PC⊥QB时,分两种情况:

(i)如图1所示:设OQ=xcm,

∵∠O=45°,

∴△OPM是等腰直角三角形,

∴OM= OP=

∴QM= ﹣x,

由折叠的性质得:∠C=∠O=45°,CQ=OQ=x,

∴△CQM是等腰直角三角形,

∴QC= QM

∴x= ﹣x),

解得:x=2 ﹣2,

即OQ=2 ﹣2;

(ii)如图2所示:同(i)得:OQ=2 +2;

综上所述:当PC⊥QB时,OQ的长为2 ﹣2,或2 +2.


(2)

解:当折叠后重叠部分为等腰三角形时,符合条件的点Q共有5个;

①点C在∠AOB的内部时,四边形OPCQ是菱形,OQ=OP=2cm;

②当点C在∠AOB的一边上时,△OPQ是等腰直角三角形,OQ= 或2

③当点C在∠AOB的外部时,分两种情况:

(i)如图3所示:PM=PQ,则∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ,

由折叠的性质得:∠OPQ=∠MPQ,

设∠OPQ=∠MPQ=x,

则∠PMQ=∠PQM=45°+x,

在△OPM中,由三角形内角和定理得:45°+x+x+45°+x=180°,

解得:x=30°,

∴∠OPQ=30°,

作QN⊥OP于N,设ON=a,

∵∠O=45°,

则QN=ON=a,OQ= a,PN= QN= a,

∵ON+PN=OP,

∴a+ a=2,

解得:a= ﹣1,

∴OQ= ﹣1)=

(ii)如图4所示:PQ=MQ,作QN⊥OA于N,

同①得:OQ= +

综上所述:当折叠后重叠部分为等腰三角形时,OQ的长为2cm或(2 ﹣2,)cm或(2 +2)cm或( )cm或( + )cm.


【解析】(1)①由平行线的性质得出∠O=∠CPA,由折叠的性质得出∠C=∠O,OP=CP,证出∠CPA=∠C,得出OP∥QC,证出四边形OPCQ是菱形,得出OQ=OP=2cm即可;
②当PC⊥QB时,分两种情况:设OQ=xcm,证出△OPM是等腰直角三角形,得出OM= OP= ,QM= ﹣x,证出△CQM是等腰直角三角形,得出QC= QM,得出方程x= ﹣x),解方程即可;(ii)同(i)得出:OQ=2 +2;即可得出结论;(2)当折叠后重叠部分为等腰三角形时,符合条件的点Q共有5个;点C在∠AOB的内部或一边上时,由折叠的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的长;点C在∠AOB的外部时,同理求出OQ的长即可.

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