Question

3．如图1，△ABC中，以BC为直径的⊙O分别与AB、AC交于F、D，过D作DE⊥AB于E，且AE=FE
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如图2，连OE．若OE=2$\sqrt{14}$，BC=12，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接DF，BD，OD，根据线段垂直平分线的性质得到AD=DF，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AFD，推出AB=BC，根据三角形的中位线的性质得到OD∥AB，于是得到结论；
（2）连接DF，BD，OD，根据勾股定理得到DE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根据相似三角形的性质得到AD²=12AE，由勾股定理得到AD²=AE²+DE²=AE²+20，得到方程AE²+20=12AE，于是得到结论．

解答 （1）证明：连接DF，BD，OD，
∵DE⊥AB于E，且AE=FE，
∴AD=DF，
∴∠A=∠AFD，
∵∠AFD=∠C，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC，
∵BC是⊙O的直径，
∴BD⊥AC，
∴AD=CD，
∵BO=CO，
∴OD∥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）连接DF，BD，OD，
∵BC=12，
∴OD=6，
∵∠ODE=90°，
∴DE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠A=∠C，∠AED=∠BDC=90°，
∴△ADE∽△BCD，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{AD}{BC}$，
∵AD=CD，
∴AD²=12AE，
∵AD²=AE²+DE²=AE²+20，
∴AE²+20=12AE，
∴AE=2，AE=10（不合题意，舍去），
∴AE=2．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．