Question

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以N、N为圆心，大于$\frac{1}{2}$MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长BC于点D．过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE．
求证：（1）AD平分∠BAC；
      （2）AD垂直平分CE．

Answer 1

分析 （1）连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；
（2）连接CE，易证△ACD≌△AED，由此可得AC=AE，又因为AD平分∠BAC，所以AD⊥CD，AD平分CE，即AD垂直平分CE．

解答 证明：（1）连接NP，MP，
在△ANP与△AMP中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AN=AM}\\{NP=NP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△ANP≌△AMP（SSS），
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）连接CE，
在△ACD和△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠EAD}\\{∠ACD=∠AED=90°}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AD=AE，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CD，AD平分CE，
即AD垂直平分CE．

点评 此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质得到AC=AE，即△ACE是等腰三角形．