Question

15．如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=8，OC=6，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用对称性确定抛物线的顶点，再设交点式y=ax（x-8），然后把顶点坐标代入求出a的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+6}\\{y=-\frac{3}{8}{x}^{2}+3x}\end{array}\right.$可得D点坐标；
（3）分类讨论：若以AD为边时，把AD向右平移4个单位得到平行四边形ADMN，此时N点坐标为（12，0）；
如图1，由于点D向下平移$\frac{9}{2}$个单位到N点位置，于是可判断点A向下平移$\frac{9}{2}$个单位到M点位置，则可得到M点的纵坐标为-$\frac{9}{2}$，再利用二次函数解析式可求出M点坐标，然后通过A点的平移情况确定D点的平移情况，从而得到N点坐标；若以AD对角线时，如图2，平行四边形AMDN，则DM∥AN，点M与点D关于直线x=4对称，则M（6，$\frac{9}{2}$），所以MD=4，则AN=4，从而得到N点坐标．

解答 解：（1）∵OA=8，OC=6，
∴A（8，0），B（8，6），C（0，6）
∵抛物线经过O，A两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=4，
∵抛物线的顶点在BC边上，
∴抛物线的顶点坐标为（4，6），
设抛物线解析式为y=ax（x-8），
把（4，6）代入得a•4•（4-8）=6，解得a=-$\frac{3}{8}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{3}{8}$x（x-4），即y=-$\frac{3}{8}$x²+3x；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），C（0，6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+6，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+6}\\{y=-\frac{3}{8}{x}^{2}+3x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴D点坐标为（2，$\frac{9}{2}$）；
（3）存在．
若以AD为边时，平行四边形ADMN，此时把AD向右平移4个单位，此时N点坐标为（12，0）；

如图1，平行四边形ADNM，点D向下平移$\frac{9}{2}$个单位到N点位置，则点A向下平移$\frac{9}{2}$个单位到M点位置，即M点的纵坐标为-$\frac{9}{2}$，
当x=-$\frac{9}{2}$时，-$\frac{3}{8}$x²+3x=-$\frac{9}{2}$，解得x₁=4-2$\sqrt{7}$，x₂=4+2$\sqrt{7}$，则M（4-2$\sqrt{7}$，-$\frac{9}{2}$）或M′（4+2$\sqrt{7}$，-$\frac{9}{2}$），
点A（8，0）向左平移（4+2$\sqrt{7}$）个单位到M，则D点（2，$\frac{9}{2}$）向左平移（4+2$\sqrt{7}$）个单位到N点，此时N点坐标为（-2-2$\sqrt{7}$，0），
点A（8，0）向右平移（2$\sqrt{7}$-4）个单位到M′，则D点（2，$\frac{9}{2}$）向右平移（2$\sqrt{7}$-4）个单位到N′点，此时N′点坐标为（2$\sqrt{7}$-2，0）；
若以AD对角线时，如图2，平行四边形AMDN，则DM∥AN，点M与点D关于直线x=4对称，则M（6，$\frac{9}{2}$），所以MD=4，则AN=4，则N点坐标为（4，0），
综上所述，N点坐标为（12，0））或（4，））或（-2-2$\sqrt{7}$，0）或（2$\sqrt{7}$-2，0）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式；熟练掌握矩形和平行四边形的性质，会运用平移变换求点的坐标；理解坐标与图形性质．