Question

12．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数之和为m，内部的格点个数为n，试探究S与m、n之间的关系式．

（1）根据图中提供的信息填表：

	格点多边形各边上的 格点的个数	格点边多边形内部的 格点个数	格点多边形的面积
多边形1	4	1	2
多边形2	5	2	②$\frac{7}{2}$
多边形3	6	3	5
多边形4	①5	4	$\frac{11}{2}$
一般格点多边形	m	n	S

则S=$\frac{1}{2}$m+n-1（用含m、n的代数式表示）
（2）对正三角形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，如图1、2是该正三角形格点中的两个多边形：设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数之和为m，内部的格点个数为n，试探究S与m、n之间的关系式．则S与m、n之间的关系为S=m+2（n-1）（用含m、n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）并根据图发现2=$\frac{1}{2}$×4+1-1；$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$×5+2-1；5=$\frac{1}{2}$×6+3-1；$\frac{11}{2}$=$\frac{1}{2}$×5+4-1，由此即可得出S与m、n的关系；
（2）根据8=8+2（1-1），11=7+2（3-1）得到S=m+2（n-1）．

解答 解：（1）多边形2的面积=$\frac{1+3}{2}$×1+$\frac{1}{2}$×3×1=$\frac{7}{2}$，多边形4的边上的格点数的和为5，
因为2=$\frac{1}{2}$×4+1-1；$\frac{7}{2}$=$\frac{1}{2}$×5+2-1；5=$\frac{1}{2}$×6+3-1；$\frac{11}{2}$=$\frac{1}{2}$×5+4-1，
所以S=$\frac{1}{2}$m+n-1，
故答案为：$\frac{7}{2}$，5，S=$\frac{1}{2}$m+n-1；

（2）因为图1中，m=8，n=1，S=8，8=8+2（1-1），图2中，m=7，n=3，S=11，11=7+2（3-1），
所以S=m+2（n-1）．
故答案为m+2（n-1）．

点评 此题考查了作图-应用与设计作图．此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．