Question

如图：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点，DE⊥DF．                                  
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求证：△ADE≌△CDF；
（3）若AB=8cm，求四边形AEDF的面积．

Answer 1

分析：（1）利用点D是斜边BC的中点，可以得到AD⊥BC，而DE⊥DF，结合它们就可以证明∠1=∠2；
（2）利用等腰直角三角形ABC的性质及∠1=∠2可以证明△ADE≌△CDF；
（3）根据（2）可以得到S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△CDF+S_△ADF=S_△ACD=

1

2

S_△ABC，然后再求出四边形AEDF的面积．

解答：证明：（1）∵AB=AC，点D是BC中点，
∴AD⊥BC．   （1分）
∴∠2=90°-∠ADF．
∵DE⊥DF，
∴∠1=90°-∠ADF．
∴∠1=∠2．  （2分）

（2）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=45°．
又∵点D是BC中点，
∴∠DAC=∠EAD=

1

2

∠BAC=45°．
∴∠C=∠EAD=∠DAC．
∴AD=CD．   （4分）
在△ADE和△CDF中

∠1=∠2 AD=CD ∠EAD=∠C

，
∴△ADE≌△CDF（ASA）．（6分）

（3）∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF（7分）
∴S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF=S_△CDF+S_△ADF
=S_△ACD=

1

2

S_△ABC（8分）
=

1

2

×

1

2

×8×8=16cm²（9分）

点评：此题主要考查了等腰直角三角形的性质，也利用全等三角形的性质与判定，有一定综合性．