Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）点Q的坐标是（______，______）（用含t的代数式表示）；
（2）当点E在BO上时，四边形QBED能否为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，直线DE经过点O．

Answer 1

解：（1）过点Q作QF⊥OA于点F，
∵直线y=-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（3，0），B（0，4），
∴在Rt△AOB中，AB==5，
∵OA⊥OB，
∴QF∥OB，
∴△AQF∽△ABO，
∴，
∵AQ=t，
即，
∴AF=t，QF=t，
∴OF=OA-AF=3-t，
∴点Q的坐标为：（3-t，t）；
故答案为：3-t，t；

（2）四边形QBED能成为直角梯形．
①当0＜t＜3时，
∴AQ=OP=t，
∴AP=3-t．
如图2，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得．
∴=．
解得t=；
如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得．
即．
解得t=；
②当3＜t＜5时，AQ=t，AP=t-3，
如图2，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得．
∴=．
解得t=-（舍去）；
如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得．
即．
解得t=＞5（舍去）；
综上所述：t=或；

（3）当t=或时，DE经过点O．
理由：①如图4，当DE经过点O时，
∵DE垂直平分PQ，
∴EP=EQ=t，
由于P与Q运动的时间和速度相同，
∴AQ=EQ=EP=t，
∴∠AEQ=∠EAQ，
∵∠AEQ+∠BEQ=90°，∠EAQ+∠EBQ=90°，
∴∠BEQ=∠EBQ，
∴BQ=EQ，
∴EQ=AQ=BQ=AB
∴t=，
②如图5，当P从A向O运动时，
过点Q作QF⊥OB于F，
∵EP=6-t，
∴EQ=EP=6-t，
∵AQ=t，BQ=5-t，sin∠ABO==，cos∠ABO==，
∴FQ=（5-t）=3-t，BF=（5-t）=4-t，
∴EF=4-BF=t，
∵EF²+FQ²=EQ²，
即（3-t）²+（t）²=（6-t）²，
解得：t=．
∴当DE经过点O时，t=或．
分析：（1）首先过点Q作QF⊥OA于点F，由直线y=-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，可求得OA，OB的长，然后由勾股定理，即可求得AB的长，易得△AQF∽△ABO，然后由相似三角形的对应边成比例，即可表示出QF与AF的长，继而可求得点Q的坐标；
（2）分别从DE∥QB与PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性质，即可求得t的值；
（3）根据题意可知即OP=OQ时，直线DE经过点O；分别从当P从O到A与点P从A到O去分析，列方程即可求得t的值．
点评：此题考查了一次函数上点的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角梯形的性质．此题综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．