Question

1．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB=$\frac{1}{2}$，OB=2$\sqrt{5}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．

Answer 1

分析 （1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，通过解直角△OBD得到OD=2BD．然后利用勾股定理列出关于a的方程并解答即可；
（2）欲求直线AM的表达式，只需推知点A、M的坐标即可．通过解直角△AOB求得OA=5，则A（5，0）．根据对称的性质得到：OM=2OB，结合B（4，2）求得M（8，4）．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．

解答 解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，
设BD=a，
∵tan∠AOB=$\frac{BD}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴OD=2BD．
∵∠ODB=90°，OB=2$\sqrt{5}$，
∴a²+（2a）²=（2$\sqrt{5}$）²，
解得a=±2（舍去-2），
∴a=2．
∴OD=4，
∴B（4，2），
∴k=4×2=8，
∴反比例函数表达式为：y=$\frac{8}{x}$；

（2）∵tan∠AOB=$\frac{1}{2}$，OB=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{5}$，
∴OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=5，
∴A（5，0）．
又△AMB与△AOB关于直线AB对称，B（4，2），
∴OM=2OB，
∴M（8，4）．
把点M、A的坐标分别代入y=mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=0}\\{8m+n=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=-\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
故一次函数表达式为：y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．