Question

【题目】如图，长方形ABCD中AD∥BC，边AB＝4，BC＝8．将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．

（1）试判断△BEF的形状，并说明理由；

（2）求△BEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）△BEF是等腰三角形，理由见解析；（2）10．

【解析】

（1）根据翻折不变性和平行线的性质得到两个相等的角，根据等角对等边即可判断△BEF是等腰三角形；

（2）根据翻折的性质可得BE＝DE，BG＝CD，∠EBG＝∠ADC＝90°，设BE＝DE＝x，表示出AE＝8x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x的值，即为BE的值，再根据同角的余角相等求出∠ABE＝∠GBF，然后利用“角边角”证明△ABE和△GBF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝BE，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

（1）△BEF是等腰三角形．

∵ED∥FC，

∴∠DEF＝∠BFE，

根据翻折不变性得到∠DEF＝∠BEF，

故∠BEF＝∠BFE．

∴BE＝BF．

△BEF是等腰三角形；

（2）∵矩形ABCD沿EF折叠点B与点D重合，

∴BE＝DE，BG＝CD，∠EBG＝∠ADC＝90°，∠G＝∠C＝90°，

∵AB＝CD，

∴AB＝BG，

设BE＝DE＝x，则AE＝AB﹣DE＝8﹣x，

在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，

即42+（8﹣x）2＝x2，

解得x＝5，

∴BE＝5，

∵∠ABE+∠EBF＝∠ABC＝90°，

∠GBF+∠EBF＝∠EBG＝90°，

∴∠ABE＝∠GBF，

在△ABE和△MBF中，

，

∴△ABE≌△GBF（ASA），

∴BF＝BE＝5，

∴△EBF的面积＝×5×4＝10．