Question

（2013•黄陂区模拟）正△ABC的两边上的点M，N满足BM=AN，BN交于CN于点E
（1）求证：BM²=ME•MC；
（2）△BCE沿着BC向下翻折到△BCF，延长CF和BF交AB于P，交AC于K，若正△ABC边长是10，求BP•CK的值；
（3）当E为BN的中点时，

BM

MA

=

5 -1

2

（直接写出比值）

Answer 1

分析：（1）首先证明△ABN≌△BCM，得出∠ABN=∠BCM，进一步证明△BEM∽△CBM，问题得证；
（2）利用折叠，得出∠NBC=∠KBC，∠MCB=∠PCB，进一步证得△PCB∽△BCK，得出BP•CK的值即可买；
（3）由△BME∽△BCM，得出

BM

MC

=

BE

EC

，△CNE∽△CAM，得出

CN

MC

=

NE

AM

，E为BN的中点，则BE=NE，把两个比例式相除，得出

BM

CN

=

AM

BC

，结合BM=AN求出BM的长度，求出AM的长度，求得比值即可．

解答：（1）证明：如图，

在△ABN和△BCM中，

AB=BC ∠A=∠CBM=60° AN=BM

∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠ABN=∠BCM，
又∵∠BME=∠CMB，
∴△BEM∽△CBM，
∴

BM

ME

=

MC

BM

，
即BM²=ME•MC；

 （2）解：如图，

△BCE沿着BC向下翻折到△BCF，
∴∠NBC=∠KBC，∠MCB=∠PCB，
又∵∠ABN=∠BCM，
∴∠ABN=∠BCM=∠PCB，
∠ABN+∠NBC=60°，∠PCB+∠BPC=60°
∴∠BPC=∠NBC=∠KBC，
∴△PCB∽△BCK，
∴

PB

BC

=

BC

CK

，BC=10，
即BP•CK=10×10=100；

（3）由△BME∽△BCM，
∴

BM

MC

=

BE

BC

，①
同理△CNE∽△CAM，
∴

CN

MC

=

NE

AM

，②
又∵E为BN的中点，则BE=NE，
①②相除得，

BM

CN

=

AM

BC

，
即

BM

10-BM

=

10-BM

10

，
解得BM=15+5

5

（不合题意，舍去），或15-5

5

；
则AM=10-BM=5

5

-5，
∴

BM

AM

=

5 -1

2

．

点评：此题考查三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，翻折等知识点，是比较综合的题目．