如图.在平面直角坐标系中.四边形OABC的顶点O是坐标原点.点A在第一象限.点C在第四象限.点B的坐标为.OA=AB.∠OAB=90°.OC=50．点P是线段OB上的一个动点.过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q.交边OC或边BC于点R.设点P横坐标为t.线段QR的长度为m．已知t=40时.直线l恰好经过点C．(1)求点A和点C的坐标,(2)当0＜t＜30时.求m关于t的函数关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．
（1）求点A和点C的坐标；
（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；
（3）当m=35时，请直接写出t的值；
（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．

分析（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理结合B点坐标得出A，C点坐标；
（2）利用锐角三角函数关系结合（1）中所求得出PR，QP的长，进而求出即可；
（3）利用（2）中所求，利用当0＜t＜30时，当30≤t≤60时，分别利用m与t的关系式求出即可；
（4）利用相似三角形的性质，得出M点坐标即可．

解答解：（1）如图1，过点A作AD⊥OB，垂足为D，过点C作CE⊥OB，垂足为E，
∵OA=AB，
∴OD=DB=$\frac{1}{2}$OB，
∵∠OAB=90°，
∴AD=$\frac{1}{2}$OB，
∵点B的坐标为：（60，0），
∴OB=60，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×60=30，
∴点A的坐标为：（30，30），
∵直线l平行于y轴且当t=40时，直线l恰好过点C，
∴OE=40，
在Rt△OCE中，OC=50，
由勾股定理得：
CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{5{0}^{2}-4{0}^{2}}$=30，
∴点C的坐标为：（40，-30）；

（2）如图2，∵∠OAB=90°，OA=AB，
∴∠AOB=45°，
∵直线l平行于y轴，
∴∠OPQ=90°，
∴∠OQP=45°，
∴OP=QP，
∵点P的横坐标为t，
∴OP=QP=t，
在Rt△OCE中，
OE=40，CE=30，
∴tan∠EOC=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠POR=$\frac{PR}{OP}$=$\frac{3}{4}$，
∴PR=OP•tan∠POR=$\frac{3}{4}$t，
∴QR=QP+PR=t+$\frac{3}{4}$t=$\frac{7}{4}$t，
∴当0＜t＜30时，m关于t的函数关系式为：m=$\frac{7}{4}$t；

（3）由（2）得：当0＜t＜30时，m=35=$\frac{7}{4}$t，解得：t=20；
如图3，当30≤t≤40时，m=35显然不可能；
当40＜t＜60时，∵OP=t，则BP=QP=60-t，
∵PR∥CE，
∴△BPR∽△BEC，
∴$\frac{BP}{EB}$=$\frac{PR}{EC}$，
∴$\frac{60-t}{20}$=$\frac{PR}{30}$，
解得：PR=90-$\frac{3}{2}$t，
则m=60-t+90-$\frac{3}{2}$t=35，
解得：t=46，
综上所述：t的值为20或46；

（4）如图4，由题意可得：PB=60-t，
∵∠PMB+∠POC=90°，
∠PMB+∠PBM=90°，
∴∠POC=∠PBM，
∴tan∠PBM=$\frac{3}{4}$，
∴PM=$\frac{3}{4}$（60-t），BM=$\frac{5}{4}$（60-t），
∵△PMB的周长为60，
∴PB+PM+BM=60，
即60-t+$\frac{3}{4}$（60-t）+$\frac{5}{4}$（60-t）=60，
解得：t=40，
即当∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周长为60时，此时t=40，直线l恰好经过点C，
则∠MBP=∠COP，
故此时△BMP∽△OCP，
则$\frac{CP}{OP}$=$\frac{MP}{PB}$，
即$\frac{30}{40}$=$\frac{x}{20}$，
解得：x=15，
故M₁（40，15），
同理可得：M₂（40，-15），
综上所述：符合题意的点的坐标为：M₁（40，15），M₂（40，-15）．

点评此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．

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