Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），直线OP位于一、三象限，∠AOP=45°（如图1），设点A关于直线OP的对称点为B．
（1）写出点B的坐标；
（2）过原点O的直线l从OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转． ①如图1，当直线l顺时针旋转10°到l1的位置时，点A关于直线l1的对称点为C，则∠BOC的度数是 ， 线段OC的长为；
②如图2，当直线l顺时针旋转55°到l2的位置时，点A关于直线l2的对称点为D，则∠BOD的度数是；
③直线l顺时针旋转n°（0＜n≤90），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为（用含n的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图

A关于直线OP的对称点正好落在x轴上，

∵根据轴对称性质∴得出OA=OB=2，

∴B点的坐标是（2，0）

（2）20°；2；110°；
【解析】（2）解： ①如图1，过A作AZ⊥直线l1于Z，延长AZ到C，使AZ=ZC，则C为A关于直线l1的对称点，
∵根据轴对称性质得出OA=OC=2，
∴∠AOZ=∠COZ=45°+10°=55°，
∴∠BOC=55°+55°﹣90°=20°，
所以答案是：20°，2；
②解：如图2，过A作AM⊥直线l2于M，延长AM到D，使AM=MD，则D为A关于直线l2的对称点，
∵根据轴对称性质得出OA=OD，
∴∠AOM=∠DOM=180°﹣（45°+55°）=80°，
80°+80°﹣90°=70°，
∴∠BOD=180°﹣70°=110°，
所以答案是：110°；
③解：直线l顺时针旋转n°（0＜n≤90），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径为以O为圆心，以2为半径的弧BQ（Q为A关于旋转n°后直线l1的对称点），
圆心角∠BOQ=2（45°+n°）﹣90°=2n°，
由弧长公式得： = ，
所以答案是： ．
【考点精析】利用弧长计算公式和旋转的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为l，则l=nπr/180;注意：在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了．